Преобразования плоскости §

При аффинном преобразовании всякий базис переходит в базис, а для любых двух базисов существует единственное аффинное преобразование, переводящее первый базис во второй.

Доказательство: Пусть аффинное преобразование задано формулами , тогда образами первой пары базисных векторов будут векторы А, поскольку , то векторы и линейно независимы (теорема 1.6.2.) и из них можно образовать базис. Сопоставляя определение 1.8.2. и следствие 5.3.1., замечаем, что, в том случае, когда базис является образом базиса при аффинном преобразовании , матрица перехода от базиса к базису . Но, поскольку для любой пары базисов матрица перехода существует, единственна и невырождена, то будет существовать единственное аффинное преобразование, переводящее первый базис во второй. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь вопрос о том, что происходит с различными геометрическими объектами на плоскости при аффинном преобразовании.

Теорема 5.4.5.

При аффинном преобразовании образом прямой линии является прямая.

Доказательство: Пусть даны прямая , где p и q - (не равные нулю одновременно) координаты направляющего вектора прямой, и аффинное преобразование . Тогда образом прямой будет множество точек плоскости с координатами , так как . Заметим, что, если , то мы имеем прямую. Предположим противное, пусть , но в силу аффинности преобразования и, следовательно, по теореме 1.1.2., есть единственное решение этой системы уравнений, что противоречит условию. Теорема доказана.

Теорема 5.4.6.