Понятия и определения математической логики

Понятия и определения математической логики

Содержание
Введение
Учебные вопросы:
1. Понятия и определения математической логики.
2. Основные операции алгебры высказываний.
3. Законы и следствия булевой алгебры.
Заключение
Введение
Теоретической основой построения ЭВМ служат специальные математические дисциплины. Одной из них является алгебра логики, или булева алгебра (Дж. Буль - английский математик XIX в., основоположник этой дисциплины). Ее аппарат широко используют для описания схем ЭВМ, их проектирования и оптимизации.
Понятия и определения математической логики.
Логика - наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств.
Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. «Предмет современной математической логики разнообразен». Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Согласно определению Н. И. Кондакова, «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков)». Это определение соответствует определению С. К. Клини: математическая логика — это «логика, развиваемая с помощью математических методов». Также А. А. Марков определяет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы». Все эти определения не противоречат, а дополняют друг друга.
Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.
Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода, с использованием языка математики.
Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Основными формами абстрактного мышления являются понятия, суждения и умозаключения.
Понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Понятия в языке выражаются словами.
Содержание понятия - совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.
Объем понятия - множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия. Выделяют понятия общие и единичные.
Выделяют следующие отношения понятий по объему:
· тождество или совпадение объемов, означающее, что объем одного понятия равен объему другого понятия;
· подчинение или включение объемов: объем одного из понятий полностью включен в объем другого;
· исключение объемов - случай, в котором нет ни одного признака, который бы находился в двух объемах;
· пересечение или частичное совпадение объемов;
· соподчинение объемов - случай, когда объемы двух понятий, исключающие друг друга, входят в объем третьего.
Суждение - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отношениях.
Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение.
Алгебра в широком смысле этого слова наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться не только над числами, но и над другими математическими объектами.