Понятия и определения математической логики

2. Логические операции над предикатами.

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истина и ложь ( 1, 0 ), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)Л Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х ∈М, прикоторыхкаждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.
Пример:
Для предикатов Р(х) : « х – четное чисто » и Q(х): « х кратно 3 » конъюнкцией Р(х)ЛQ(х) является предикат « х – четное число и х кратно 3 », то есть предикат « х делится на 6 »

Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)VQ(х), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х ∈М, прикоторыхкаждыйизпредикатовпринимаетзначение«ложь»ипринимаетзначение«истина» во всех остальных случаях

Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при всех значениях х ∈М, прикоторыхпредикатР(х) принимаетзначение«ложь», ипринимаетзначение«ложь»при тех значениях х ∈М, прикоторыхпредикатР(х) принимаетзначение«истина».

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется предикат P(x)→Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях х∈М, прикоторыходновременно P(x) принимаетзначение«истина», а Q(x) принимаетзначение«ложь»ипринимаетзначение«истина»вовсехостальныхслучаях. Таккакприкаждомфиксированном x справедливаравносильность P(x)→Q(x)≡𝑃(𝑥) ̅̅̅̅̅̅˅Q(x), то область истинности предиката P(x)→Q(x), является объединением дополнения области истинности предиката P(x) до множества M и области истинности предиката Q(x), то есть IP→Q=IP̅ ∪IQ.

Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется предикат P(x)↔Q(x), который превращается в истинное высказывание при всех х∈М, прикоторыходновременно P(x) и Q(x) принимаютодинаковыезначенияистинности. Таккакприкаждомфиксированном x справедливаравносильность P(x)↔Q(x)≡ (P̅⋁Q) ∧ (P ∨ Q̅) тообластьистинностипредиката P(x)↔Q(x), являетсяконъюнкциейобъединенийдополненияобластиистинностипредиката P(x) домножества M иобластиистинностипредиката Q(x), идополненияобластиистинностипредиката Q(x) до множества M и области истинности предиката P(x) то есть IP↔Q=(IP̅ ∪IQ)∩ (IQ̅∪IP)