Polvanov Rashid Raximjanovich ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar to‘plami

6-§. Diskret tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari

1-masala. Ikkita o‘yin kubigi 1 marta tashlanganda chiqadigan raqamlar yig`indisining matematik kutilishi topilsin.

Javob: M(x) = 7.
2-masala. Sakkista detallardan iborat idishda 3 ta nostandart detallar bor. Tavakkaliga ikkita detal olindi. X-diskret tasodifiy miqdor olingan ikkita detallar orasidagi nostandart detallar sonining matematik kutilishi topilsin.

Javob: M(x)=0,75.

3-masala. 2 ta o‘yin kubigi 1 marta tashlanganda chiqadigan raqamlar ko‘paytmasining matematik kutilishi topilsin.
Javob : M(x)=12,25.
4-masala. 1 ta o‘q uzganda nishonga tekkizish ehtimoli p= _{ } a teng bo‘lsa, 4 ta o‘q uzganda X-diskret tasodifiy miqdor nishonga tegish sonining matematik kutilishi topilsin. Javob: M(x)=.
5-masala. X-tasodifiy miqdor ikkita x₁=1,x₂=-1 qiymatlarni 0,5 ehtimol bilan qabul qiladi. Shu tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.

Javob: D(x)=1.

6-masala. X-diskret tasodifiy miqdor 3 ta erkli sinovlarda biror A hodisaning ro‘y berishlar sonining matematik kutilishi M(x) = 6 ga teng bo‘lsa, shu tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
Javob: D(x)=.
7-masala. Agar biror A hodisaning har bir sinovda ro‘y berish ehtimoli 0,3 ga teng bo‘lsa, X-tasodifiy miqdor A hodisaning 6 ta erkli sinovlarda ro‘y berish sonining dispersiyasini toping.
Javob: D(x)= 1,26.
8-masala. Idishda 5 ta sharlar bo‘lib, ulardan 2 tasi qora, 3 tasi oq rangli. Tavakkaliga idishdan 2 ta shar olindi. X-tasodifiy miqdor shu olingan 2 ta sharlar orasida qora sharlar sonining matematik kutilishi toplisin.
Javob: M(x)=.
9-masala. Avvalgi masala shartlari bajarilganda X-tasodifiy miqdor shu olingan 2 ta sharlar orasidagi qora sharlar sonining dispersiyasi topilsin.
Javob: D(x)=.
10-masala. Tanga 4 marta tashlandi. X-tasodifiy miqdor tanganinig raqamli tomonining tushish sonining matematik kutilishi topilsin.
Javob: M(x)= 2.
11-masala. Diskret tasodifiy miqdor X faqat ikkita X₁ va X₂ qiymat qabul qiladi. (x₁ x₂) X ning x₁ qiymatini qabul qilish ehtimoli 0,2 ga ten. Agar X ning matematik kutilishi M(x) = 2,8 va dispersiyasi D(x) = 0,16 ga teng bo‘lsa, bu tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping.

x	2	3
P	0,2	0,8

Javob:

12-masala. Avvalgi masala shartlarida P₁=0,6 bo‘lib, X ning matematik kutilishi M(x) =3,4 va dispersiyasi D(x) = 0,24 ga teng bo‘lsa, X-tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni topilsin.

x	3	4
P	0,6	0,4

Javob:

13-masala. Aspirant tajriba maydonidan 6 ta namuna olib keldi. Shulardan 4 tasida izlanayotgan temir qorishmasi bor. Tavakkaliga 3 ta namuna ajratildi. X-diskret tasodifiy miqdor ajratilgan namunalar orasida izlanayotgan temir qorishmasi borligi soni taqsimotining o‘rtacha kvadratik chetlanishi topilsin.
Javob: _{ }(x) =0,63.
14-masala. Futbol bo‘yicha institut terma komandasi 12 kishidan iborat bo‘lib, ulardan 5 tasi 1-razryadlidir. Tavakkaliga shu komandadan 3 kishi tanlab olindi. Shu tanlanganlar orasidagi 1-razryadlilar soni X-diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.
Javob: M(x) = 1,25.
15-masala. Idishda 2 ta oq va 1 ta qora sharlar bor. Shu idishdan ketma-ket 3 marta shar olindi. Har bir keyingi shar olinishidan avval oldingi shar idishga qaytariladi. Olingan sharlar orasidagi o‘q sharlar soni X-diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi topilsin.
Javob: M(x) =2; D(x) = .
16-masala. X-diskret tasodifiy miqdor faqat 2 ta X₁ va X₂ (X₁ X₂) qiymatlarni qabul qiladi. Agar bu tasodifiy miqdorning X₁ qiymat qabul qilish ehtimoli P₁ = 0,6 bo‘lib, matematik kutilishi M(x) = 2,6 va dispersiyasi D(x) = 0,24 ga teng bo‘lsa, X ning taqsimot qonuni topilsin.

x	3	2
P	0,6	0,4

Javob:

x	1	2
P	0,2	0,8

y	0,5	1
P	0,3	0,7

17-masala. Diskret erkli tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlari orqali berilgan. XY-ko‘paytmaning matematik kutilishi topilsin.

Javob: 1,53.

18-masala. Idishda 10ta bir xil mahsulotlar bo‘lib, ulardan 3 tasi sifatsizdir. Shu idishdan tavakkaliga 2 ta mahsulot tanlandi. X-diskret tasodifiy miqdor tanlangan 2 ta mahsulotlar orasidagi sifatsiz mahsulotlar sonining matematik kutilishi topilsin.
Javob: M(x) = 0,6.
19-masala. X-diskret tasodifiy miqdor faqat 2 ta X₁ va X₂ (X₁ X₂) qiymatlarni qabul qiladi. P₁=0,5, M(x) =3,5. D(x) = 0,25 berilgan bo‘lsa, X-diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni yozilsin.

x	4	3
P	0,5	0,5

Javob:

x	2	3	4
P	0,3	0,2	0,5

20-masala. Agar X-diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan bo‘lsa, uning dispersiyasi topilsin.

Javob: D(x) = 0,76.
21-masala. Agar 1 ta otishda nishonga tekkizish ehtimoli 0,4 ga teng bo‘lsa, 3 ta o‘q uzishda X-diskret tasodifiy miqdor nishonga tekkizish sonining matematik kutilishi topilsin.
Javob: M(x) = 1,2.
22-masala. Agar X-diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan bo‘lsa, uning o‘rtacha kvadratik chetlanishi topilsin.

x	1	3	5
P	0,3	0,4	0,3

Javob: _{ }(x) ≈ 1,55.

23-masala. Avvalgi masala shartlari bajarilgan X-tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.

Javob: M(x) = 3.

x	2	3	5
P	0,1	0,6	0,3

24-masala. Quyidagi jadval ko‘rinishida berilgan X-diskret tasodifiy miqdor taqsimotining dispersiyasi topilsin.

Javob: D(x) =1,05.

25-masala. Nishonga qarab 3 ta o‘q otilgan bo‘lib, har bir o‘qning nishonga tegish ehtimoli 0,8 ga teng. X-tasodifiy miqdor o‘qning nishonga tekkizish sonining taqsimot qonunini va matematik kutilishini toping.
Javob: M(x)=2,4.
26-masala. Nishonga qarab otilgan o‘qning nishonga tekkizish ehtimoli p=0,4 ga teng. Agar 10 ta o‘q otilgan bo‘lsa, nishonga tegish sonini ifodalovchi tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.
Javob: M(x)=4.
27-masala. 2000 ta mahsulotlardan iborat to‘plamdan olingan har bir mah-sulotning yaroqsiz bo‘lish ehtimoli 0,03 ga teng. X-diskret tasodifiy miqdor to‘plamdagi yaroqsiz mahsulotlar sonining matematik kutilishi topilsin.
Javob: M(x) = 60.
28-masala. 4 ta o‘zaro bog`liq bo‘lmagan tajribada A hodisaning ro‘y berish soni X-diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi M(x)=0,8 ga teng bo‘lsa, shu tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
Javob: D(x) = 0,64.
29-masala. X-tasodifiy miqdor 200 ta o‘zaro bog`liq bo‘lmagan tajribada A hodisaning ro‘y berish sonini ifodalaydi. Har bir tajribada shu hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,7 ga teng bo‘lsa, X-diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
Javob: D(x) = 42.
30-masala. 10 ta detallardan iborat idishda 2 ta nostandart detal bor. Shu idishdan tavakkaliga 2 ta detal tanlab olindi. X-diskret tasodifiy miqdor olingan 2 ta detallar orasidagi nostandart detallar sonining dispersiyasi topilsin. Javob: D(x) = .