Подземная гидравлика

§ 2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ
Выведем уравнение неразрывности (сплошности) фильтрационного потока для однородного сжимаемого флюида в деформируемой по­ристой среде. Оно представляет собой уравнение баланса массы

в элементарном объеме пористой среды. Выделим мысленно в по­ристой среде, в которой происходит движение флюида, элементар­ный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (рис. 3.1). Пусть точка М, совпадающая с центром левой грани ab, имеет координаты х, у, г. Тогда точка М' в центре грани а'Ь' имеет ко­ординаты х + dx, у, г. Масса флюида, втекающего в объем через грань ab за малый промежуток времени dt, записывается в виде
(рw_x)_abdydzdt.
Отметим, что в силу малости выделенного объема и его граней можно считать, что плотность и скорость фильтрации распреде­лены на гранях ab и а'Ь' равномерно и равны значениям их в точ­ках М и М' соответственно.

в в'





У
Рис. 3.1. Схема элемента пласта для вывода урав­нения неразрывности
Масса флюида, вытекающая, из объема через грань а'Ь', равна
(pw_x)a'b’ dydzdt.
Но так как при переходе от точки М грани ab к точке М' грани а'Ь' координата х изменилась на малую величину dx, то можно за­писать
(pw_x)a'b' =(р®х)аь + ^d(pWx} dx.
дх
Тогда изменение массы флюида в объеме abb'a' за промежуток времени dt за счет потока вдоль оси х:
[{pwx)ab—(p®x)a'b’]dydzdt = ^{д (}j^~dxdydzdt.
OX
Рассматривая фильтрацию флюида в направлениях вдоль осей у и z, получим аналогичные выражения для изменения массы в эле­ментарном объеме за счет потока вдоль этих осей в виде
d (pwy) ^^ydzdt и —^{д (}Р^Ш?) ■ dxdydzdt.
ду dz
Таким образом, общее изменение (накопление) массы в объеме dxdydz за время dt будет
_ [ ₊ j _{dxdydzdt (}з. j)
С другой стороны, масса флюида, находящегося в рассматри­ваемом элементарном поровом объеме,
М = р mdxdydz, где т — коэффициент пористости пласта.
Изменение массы флюида за промежуток времени dt записы­вается в следующем виде (объем элемента dxdydz фиксирован):

Отметим, что уравнение (3.3) справедливо только в том случае, если внутри выделенного элемента породы нет источников или сто­ков, выделяющих или поглощающих флюид (химических реакций, фазовых превращений и т. д.).

Выражение в левой части уравнения (3.3) представляет собой
—>■
дивергенцию вектора массовой скорости фильтрации рw и кратко записывается так:

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим фильтрацию флюидов в пористых средах, принимая в качестве закона движения линейный закон фильтрации Дарси (1.7). Можно получить дифференциальные уравнения движения, используя другие законы фильтрации, например закон Форхгей- мера (1.12).
Закон Дарси в виде (1.6) или (1.7) записан в конечном виде, т. е. для пласта или образца с постоянной площадью сечения, где Ар* — разность приведенных давлений на конечной длине L. Для трубки тока с переменной площадью сечения по длине трубки закон Дарси записывается в дифференциальной форме.
Выделим два сечения: первое — на расстоянии s от начала от­счета, второе — на расстоянии ds от первого (рис. 3.2). Пусть дви­жение флюида происходит в направлении возрастания координаты s. В сечении с координатой s обозначим приведенное давление р* (s, t),
в сечении с координатой s + ds давление
р* (s + ds, t) = р* (s, t) + -^S— ds.
ds
Используя формулу (1.7), получим
k р* (s, t) — p* (s + ds, t) k
w -
d
и
s

dp*
ds

P*(s

t) +

ds

X

t) — |V(S,

ds

или

dp*

(3.6)

w =

ds

Знак минус появился в правой части формулы (3.6) потому, что
приведенное давление уменьшается в направлении движения жид-
кости, т. е. градиент приве-
денного давления отрицателен "
dp*Ids 0.
Формула (3.6) справедлива
только для изотропной сре-
ды, для которой характерно
постоянство проницаемости k
по всем направлениям в ок-
рестности рассматриваемой
точки. Однако с переходом
от точки к точке пласта про- ~^Рис- ³-²- Трубка тока
ницаемость, вообще говоря,
может изменяться, т. е. k = k (х, у, г} (модель изотропного неод-
нородного пласта).
Запишем уравнение (3.6) в проекциях на оси координат х, у, г.
Если обозначить через i, /, k единичные векторы вдоль осей коор-
динат, то вектор скорости фильтрации можно записать так:

w = iw_x + jw_y + kw_z.
В правой части (3.6) dp*/ds представляет собой градиент приве­денного давления, т. е. вектор с составляющими др*/дх, др*/ду,
др*/дг:
dp*

dp*
dx

dp*
ду

grad р* = i

k-

}

дг

Тогда

g
(3.7)

w =
rad p*,

или в проекциях на оси координат
_w,₌ -JL.lf. ,3.8)
[Л дх (I ду ц дг
Если ось z направлена вертикально вверх, то дифференциаль­ные уравнения движения примут вид
k др k dp k ( др . \
w_x= w_y= w_z = (-7^L + pg^r)
Ix дх Ц, ду ц V. dz )
(3.9)
или в векторной форме
w= — (gradp — pg). (3.10)
И
При изучении движения жидкости во многих пористых материа­лах обнаруживается, что существуют некоторые преимуществен­ные направления, при течении по которым наблюдаются более ин­тенсивные фильтрационные потоки, т. е. фильтрационные харак­теристики изменяются в зависимости от направления потока. По­ристые среды, в которых коэффициент проницаемости зависит от направления потока, называются анизотропными. Ани­зотропия фильтрационных течений однородных ньютоновских жид­костей обусловливается только геометрическими характеристи­ками породы. В этом случае закон линейной фильтрации имеет более сложный вид, чем закон Дарси (3.10), так как оказывается, что векторы скорости фильтрации и градиента давления не совпа­дают по направлению.
На практике часто встречается анизотропия естественных пористых сред специального вида. Так как большинство пород- коллекторов образованы осадконакоплением, пористые среды в этом случае имеют отчетливую слоистую структуру. Фильтра­ционные свойства такой среды одинаковы для любого направления, лежащего в плоскости слоя, и изменяются для направлений, не лежащих в этой плоскости. Если систему координат xyz выбрать специальным образом, а именно плоскость ху совместить с пло­скостью слоя, а координатную ось г направить перпендикулярно, то закон Дарси можно записать в виде
k др k dp k, др г _{w w}—
p, дх u ду [X dz
Выбранные таким образом оси координат называются главными осями породы.
При изучении фильтрации в такой слоистой пористой среде для упрощения часто рассматривают две предельные схемы: k_z = О и k_z — оо. В случае k_z = 0 скорости, перпендикулярные к на­пластованию, отсутствуют и движение происходит вдоль тонких параллельных прослоев. В случае k_z = оо из условия конечности w_z следует dpldz = 0, т. е. давление в каждом поперечном сечении распределено гидростатически, а компоненты скорости, параллель­ные плоскости ху, распределены равномерно по поперечному се­чению потока.