Подземная гидравлика

Анализ размерностей
Во всяком физическом исследовании, теоретическом или экспери­ментальном, находятся зависимости одних величин, характери­зующих явление, от других. Дело всегда сводится, таким образом, к отысканию одного или нескольких соотношений вида
Ct = f{Cl 1, . . . , CLk, flft+i, . . . , On}- (2-5)
Здесь a — определяемый параметр; a_lt . . . , а_п — величины, которые считаются заданными, они называются определяющими
31
параметрами. Разбиение определяющих параметров в соотношении

5. 
   сделано так: параметры а_г, . . . , а_к имеют независимые раз­мерности, а размерности параметров а_к+1, . . . , а_п выражаются в виде произведения степеней размерностей параметров a_lt , а_к:
   

[а_к+1] = [а^+г . . . [а*]^г*+ь
[
(2.6)
a-k+i] = [а₁]^Р/г+‘ . . . \а_к]^Гк+‘]
[а„] = [а₁]^р« . . . [a*]V
Такое разбиение можно сделать всегда. В частных случаях мо­жет быть k = п, если размерности всех определяющих параметров независимы, или k = 0, если все определяющие параметры безраз­мерны. В общем случае Ос k
Размерность определяемой величины а должна выражаться в виде произведения степеней размерностей величин а_г, . . . , a_k. Следовательно, должны существовать числа р, . . . , г, такие, что
[
(2.7)
а] = [aj]^p . . . [a_k]^r.
Если бы это было не так, размерности величин a, a_lt . . . , а были бы независимыми. Тогда, согласно свойству, доказанному, в предыдущем разделе, можно было бы, изменяя систему единиц измерения внутри данного класса, менять величину а во сколько угодно раз, оставляя неизменными все величины а_ъ . . . , а_к. При этом оставались бы неизменными и все остальные определяющие параметры а_к+ъ . . . , а_п, потому что их размерности выражаются через размерности величин a_lt . . . , а_к формулами (2.6). Таким образом, определяемая величина а могла бы меняться как угодно при неизменных значениях всех определяющих параметров, чего не может быть, если список определяющих параметров полон.
Введем теперь параметры
Qfe+i
a
(2.8)
ffc+i. . ,a^r_kk+1
а
^a\ⁿ- ■ ■^l?kⁿ-
a


^к+i. . .a^r_kk+i
n =
Здесь показатели степеней определяющих параметров с неза­висимыми размерностями выбраны так, чтобы все параметры Я, П₁, . . . , Пп-ъ были безразмерными. Перепишем теперь основную зависимость (2.5), заменяя все параметры а, а&₊₁, . . . , а_п с зави­симыми размерностями через безразмерные величины П, П_х, . . . ,
Пп-k, определенные соотношением (2.8), и параметры а_х a_k.
Получаем
п
■Р П^Г пР
f (^аъ . ... a_n) _ 1
а
■I, ... u_k
Xf{a_u . , . , a_k, П_ха^р_хь+' . . . a_k^k+1, . . . , П_п__ка[^п . . . a_kⁿ)>
(2.9)
т ак что
n = F(a_u . . . , с*, Я_ь . . . , n_n__k), (2.10)
где F — некоторая функция.
Теперь — самое главное. Как было показано, всегда можно перейти к такой системе в рассматриваемом классе систем единиц измерения, что любой из параметров а_и . . . , a_k, например а_х, изменится во сколько угодно раз, а остальные размерные параметры останутся неизменными. Ясно, что неизменными при таком пере­ходе останутся также и безразмерные аргументы функции F и ее значение П. Но отсюда следует, что на самом деле функция F от аргумента а_х не зависит. Точно так же доказывается, что она не зависит и от аргументов а₂, . . . , а*. Следовательно, зависимость

10. 
    на самом деле выражается через функцию не п аргументов, a n—k аргументов, т. е. на k меньше:
    

П = Ф{П₁, : . . , Л_я_*).‘ (2.11)
Вспомним теперь, что П = //(а? . . . a_k). Тогда из (2.11) следует- что всякая функция /, определяющая ту или иную физическую за­кономерность, обладает свойством обобщенной однородности, т. е. представляется через функцию меньшего числа переменных:
/ = . .а^г_кФ( ^ , . . ., ^
^ afft+i . . . a^r_kk+1 afn . . . a[n J
(2.12)
Эти факты составляют содержание основного утверждения ана­лиза размерностей, так называемой л-теоремы.
Важность этой теоремы связана со следующим. Для определения зависимости той или иной величины а от каждого определяющего параметра надо измерить или вычислить функцию /, скажем при 10 значениях соответствующего аргумента. Конечно, число 10 условно, например, для гладких функций может хватить и мень­шего числа измерений или вычислений, для других не хватит и ста. Тем не менее остановимся на числе 10. Тогда для определения функции f надо провести всего 10" измерений или вычислений.
2 Заказ № 218 33
После применения анализа размерностей дело сводится к опреде­лению функции Ф от п—k безразмерных аргументов П_х, . . . , Пп-к ■ Д^ля нахождения этой функции уже достаточно 10^п~^к опы­тов или вычислений, т. е. в 10* раз меньше. Мы приходим к важ­ному выводу: трудоемкость определения искомой зависимости бла­годаря применению анализа размерностей сокращается на столько порядков, сколько среди определяющих параметров величин с не­зависимыми размерностями.
Теория подобия
В подземной гидравлике очень часто прибегают к моделированию явлений, в том числе к физическому моделированию процесса филь­трации пластовых флюидов, о чем подробно рассказано в предыду­щих параграфах. Ясно, что надо знать, как пересчитывать резуль­таты опыта на натуру; если этого не знать, моделирование беспо­лезно. Для правильного моделирования основным является по­нятие физического подобия явлений.
Понятие физического подобия, естестзенно, обобщает понятие подобия геометрического. Например, два треугольника подобны, если они отличаются только численными значениями параметров — длин сторон, а углы при вершинах для обоих треугольников оди­наковы. Аналогично физические явления называются подобными, если они отличаются только численными значениями размерных определяющих параметров и притом так, что для них величины соответствующих безразмерных параметров совпадают.
В связи с принятым определением подобных явлений величины Л₁, . . . , П_п_к называются параметрами подобия.
Рассмотрим теперь некоторое явление, которое предполагается моделировать, будем называть его натурным. Потребуем, чтобы модельное явление, которым мы хотим воспользоваться для опреде­ления нужных характеристик натурного, было подобным натур­ному. Следовательно, для обоих явлений имеет место зависимость определяемой характеристики а от определяющих параметров 0.1, , й_п\
a — f (fli, • • • , a_k, a_k+1, . . . , a_n). (2.13)
При этом функция / для обоих явлений одна и та же, поскольку они подобны, хотя численные значения определяющих параметров а_х, ■ ■ ■ , а_п и определяемого параметра а могут различаться. Та­ким образом, соотношение (2.13) соответственно для натурного и модельного явлений имеет вид
a^w = f(a\^p\ . . . , аР, 0,1% . . . , а<^р));
(2.14)
a^im)=f(a\^m), . . . , а[^т\ . . . , а⁽_п^т)).
Здесь и дальше верхним индексом (р) обозначены величины, соответствующие натурному явлению, а индексом (т) — вели­чины, относящиеся к модельному явлению. Используя анализ раз­мерностей, находим для обоих явлений
П^{р) = Ф(П[^р\ . . . , /7<^РЛ);
(2.15)
П^{т) = Ф(л[^т), . . . , Я<Д*).
Здесь функция Ф в обоих случаях одна и та же, так как она одинаково выражается через одну и ту же функцию /. Далее, по­скольку модельное и натурное явления подобны, согласно опреде­лению подобных явлений должны выполняться условия
П[^т) = П[^р), . . . , ЯЙ = Я<^РЛ. (2.16)
Условия (2.16) называются критериями подобия. Следовательно,
Ф{п\^т\ . . ., лй)=ф(я!^р), • . ., П^(р1_к),
и, согласно (2.15), имеет место равенство безразмерных определяе­мых параметров для натурного и модельного явлений
Л^(р) = Я^(т). (2.17)
Возвращаясь в соответствии с (2.8) к размерным переменным а, а_1у , а_к, получаем простое правило пересчета результатов измерений с подобной модели на натурное явление:
а^<р) = а^(т) (-^1_У ... I I . (2.18)

Именно для того, чтобы можно было пользоваться этим прави­лом, нужно было потребовать, чтобы модель была подобна натуре.

Заметим теперь, что параметры модели а?, . . . , а™ можно выбирать произвольно, имея в виду максимальную простоту и удобство моделирования.
Условия подобия модели натурному явлению (2.16) —^; равенство параметров подобия для модельного и натурного явлений — ука­зывают, как надо выбирать остальные определяющие параметры ai+i, . . . , а*"⁵, чтобы обеспечить подобие модели натуре. Раскры­вая эти условия, находим


/ (т) \Рь₊₁ / „(т) Vfe-H
_П(т)___П(Р). „(т) (р) ‘ ^а' ' ^k+1 ‘ ^а* ' ^{Й + 1}
и 1 —и 1 , а_к-\-\ = а_к+\


a