Подземная гидравлика

k др*

ds

dr

со (s) = — ~^dp Фг² = const;

Q

Отсюда, сокращая на постоянные величины ф, k и ц, имеем

2 d?p* , ₀ dp* _А п — 1- 2 г = 0 или

(4.40)

Уравнение (4.40) можно записать в развернутом виде

dr² dr

(4.41)

d²p* 2_ dp* dr^{2 +} r dr

Уравнение (4.41) и есть дифференциальное уравнение Лапласа в сферических координатах для установившегося радиально-сфе­рического фильтрационного потока несжимаемой жидкости по за­кону Дарси.
Общее решение уравнения (4.40) найдем, как и ранее, посредст­вом его двукратного интегрирования. Имеем:
^^1 _{= с} dp* =С_Х (4.42)
dr г²
р* = у—ЬС₂ ‘ (4-43)
Постоянные интегрирования С! и С₂ определяются из следую­щих граничных условий:
р* = р‘ при г = г_с: ]
и (⁴-44)
р =Рк при r= R_K. |
Подставив граничные условия (4.44) в решение (4.43), найдем

^С,~^{Л +} Ц ■ ^<446)

\Г_С R_K ) V r_c Rk )
Распределение приведенного давления в радиально-сфериче­ском фильтрационном потоке несжимаемой жидкости найдем, под­ставив значения постоянных интегрирования С_г и С₂ из (4.45) и (4.46) в общее решение уравнения Лапласа (4.43):
■
Рк'
(т-хН+
Нт—г)- ^(447)
rc Rk
Градиент приведенного давления определим из (4.42), подста­вив значение C_t из (4.45):
*1= t-"¹ L. (4.48)
dr 1 1_ г^2
rc Rk,

Тогда, используя (4.48), определяем дебит добывающей сква­жины радиусом г_с
Q ₌ _Ajrfgl _{m(s) =} A Jjglfcy» = -*-■■■ ^Р'^К~^Р'^{С 1}-2лг* =
ц ds ц dr U 1 1 г^г
R к
2
(4.49)
nk Рк’
1
Гг
Здесь было использовано равенство ср = 2я. Скорость фильтра­ции на расстоянии г от центра забоя скважины найдем из ее опре­деления, используя (4.49):
w = -А_ =—9— = Л ^р-^к-~ ^Рс L. (4.50)
со (г) 2пг² [д. 1 1 г²
г с Rk
Закон движения частиц жидкости вдоль их траекторий г опре­деляется из соотношения
dt= —— dr,
w
интегрируя которое в пределах от 0 до t и от R₀ до г и используя (4.50), находим закон движения в следующем виде:
г_с Як) ^Ro~~^r3 _ 2лт Rp — г³ (4 5П *&-/>;) . з - с?- з •
Для того чтобы найти время Т продвижения частицы жидкости от начального положения R₀ до скважины, нужно в последней формуле положить г — г_с■ Если при этом пренебречь величиной г\ вследствие ее малости, то получим
T = ^LRl. (4.52)
Средневзвешенное по объему порового пространства приведен­ное пластовое давление найдем из его определения:
Р — ~ J Р dV пор - (4.53)
^^П°Р ^Vnop
В нашем случае

2. 
   о
   

^ пор — 3lR к Шу
3
dVnop = 2nr¹drm,
Р* определяется по формуле (4.47).


Тогда выражение (4.53) можно записать так:


R


К


2я тгЫг,


С



откуда после интегрирования, пренебрегая значениями г\ и rl, по сравнению с R\, найдем

(4.54)


*Р =Р‘

Таким образом, характеристики установившегося радиально­сферического потока несжимаемой жидкости в однородном пласте определяются формулами (4-47) — (4.52) и (4.54).
Проанализируем эти формулы. Как следует из формулы (4.49), зависимость дебита от перепада приведенного давления в радиально­сферическом потоке такая же, как и в плоскорадиальном потоке, следовательно, и форма индикаторной линии здесь будет тоже пря­мой (см. рис. 4.10).
Формулы (4.48) и (4.50) свидетельствуют о том, что градиент приведенного давления и скорость фильтрации в любой точке пласта обратно пропорциональны квадрату расстояния этой точки от забоя скважины. Следовательно, если построить для радиально­сферического потока график, аналогичный графику на рис. 4.11, то крутизна соответствующей кривой у стенки скважины (при ма­лых значениях г) в радиально-сферическом потоке будет еще больше, чем в плоскорадиальном.
Из формулы (4.47) следует, что приведенное давление в любой точке пласта обратно пропорционально координате г этой точки. Значит, зависимость приведенного пластового давления от г ги­перболическая. Уравнением семейства поверхностей равного при­веденного давления (равного напора) являются, как следует из той же формулы (4.47), концентричные полусферы. Понятно, что в разных точках одной и той же поверхности равного напора ис­тинные давления будут различны. Но, зная высотную отметку точки пласта, плотность пластовой жидкости, распределение при­веденных пластовых давлений, легко найти истинное давление в лю­бой точке пласта.
Отметим в заключение, что все формулы и выводы данного па­раграфа останутся справедливыми, если считать скважину нагне­тательной. При этом надо учитывать, что приведенное давление на забое скважины р_с будет больше пластового р*_к.
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТАХ
В природных условиях продуктивные нефтегазосодержащие пласты редко бывают однородными. Пористая среда называется неодно­родной, если ее фильтрационные характеристики — проницаемость и пористость — различны в разных областях.
Однако часто изменение проницаемости по пласту носит столь хаотичный характер, что значительные области пласта можно счи­тать в среднем однородно проницаемыми. Характеристики филь­трационных потоков в таких пластах с большой точностью отве­чают характеристикам потоков, установленных в предыдущем па­раграфе для строго однородных пластов.
Но нередко встречаются такие пласты, значительные области которых сильно отличаются друг от друга по фильтрационным ха­рактеристикам. Это так называемые макронеоднородные пласты, параметры которых существенно влияют на характеристики филь­трационных потоков.
В пластах — коллекторах нефти и газа выделяют следующие основные виды макронеоднородности.

1. 
   Слоистая неоднородность, когда пласт разделяется по тол­щине на несколько слоев, в каждом из которых проницаемость в среднем постоянна, но отлична от проницаемости соседних слоев. Такие пласты называют также неоднородными по толщине. Вследст­вие малости кривизны границы раздела между слоями с различ­ными проницаемостями считают обычно плоскими. Таким образом, в модели слоистой пористой среды предполагается, что проницае­мость изменяется только по толщине пласта и является кусочно­постоянной функцией вертикальной координаты. При этом можно считать, что пропластки разделены непроницаемыми границами (случай гидравлически изолированных слоев), либо учитывать пе­ретоки между слоями с различными проницаемостями (случай гид­родинамически сообщающихся пропластков).
   

В первом случае возможен расчет фильтрационных характери­стик по одномерным моделям течения. Во втором случае точный учет перетоков флюида между пропластками требует решения дву­мерных задач фильтрации.

2. 
   Зональная неоднородность, при которой пласт по площади состоит из нескольких зон (областей пласта) различной проницае­мости. В пределах одной и той же зоны проницаемость в среднем одинакова, но на границе двух зон скачкообразно изменяется. Здесь, таким образом, имеет место неоднородность по площади пласта.
   
3. 
   Неоднородные пласты, в которых проницаемость является известной непрерывной функцией k {х, у, г) координат точек об­ласти фильтрации.
   

Рассмотрим одномерные потоки несжимаемой жидкости в таких неоднородных пластах по закону Дарси.

Слоисто-неоднородный пласт
m
Пусть горизонтальный пласт постоянной толщиной h и шириной В состоит из п пропластков толщиной h_lt h₂, . . . , hi, . . . , h_n, про­

ki, . . . , k_n и пористостью m_lt m₂, •

ницаемостью k_x, k₂,