Подземная гидравлика

p. ds )i dr
Поскольку при установившемся движении несжимаемой жидко­сти расход Q сохраняется вдоль оси г струйки, имеем

d
dr

= 0

Рис. 4.9. Трубка тока в плоскорадиальном по­токе

(4.26)

= 0.

(4.27)

Отсюда, сокращая на постоянные ве­личины k, ц., h и ф, получаем
' ('-£■)-»■

Уравнение (4.26) в развернутом виде запишется так:

d²p 1 dp dr² г dr

dQ
dr

dr

Это и есть дифференциальное уравнение Лапласа в полярных координатах для установившегося плоскорадиального фильтра­ционного потока несжимаемой жидкости по закону Дарси.
Дважды проинтегрировав уравнение (4.26), получим его общее решение. Находим последовательно

г^ = С₁,

или

dr

dp _r l
Oi
dr r

(4.28)

dr

dp = C₁

откуда

p = Ci In r+C₂-

Постоянные интегрирования C₂ и C₂ находятся из граничных условий, которые в данном случае можно записать в виде
Р — Рс при г=г_с;
р = р_к при г = Кк. (4.29)
Подставляя граничные условия (4.29) в общее решение (4.28), находим
Рс = С₁1пг_с+С₂;
Рк = Ci In R_K -f- С₂,
откуда

Ci-

(4.30)
(4.31)

Рк Рс

1пЯ_к.

С% Рс

Як

In
^Рк - ^?С 1ПГ_С =

Рк — Рс

Рк-

Подставляя (4.30) и (4.31) в общее решение (4.28), получим за­кон распределения давления в плоскорадиальном потоке:
Р = Рс+ ^рк~_n^Рс In — =р_к -^к~^Рс 1п-^-- (4.32)
ln-^s- ^Гс ln-^iL. ^Л
Градиент давления dpldr определим из (4.28), подставив в него значение С_г из (4.30):
dp р_к — Рс 1
(4.33)
^dr 1п-^
Тогда скорость фильтрации и дебит скважины соответственно _w=±AJL₌ А Рк-Рс _L. _{(4 34)}
ц dr ц _]п
Гс
Q = ш<о (г) = А — 2л/7г,
(X ,_п_*к_ Г Гс
откуда
q_ _2nkh_ Рк —Рс.. (₄.з₅)
^ц In
г_с
Формулу (4.35) называют формулой Дюпюи по фамилии ее ав­тора.
Закон движения частиц жидкости вдоль их траекторий найдем из соотношения скорости фильтрации и средней скорости движения жидкости
ds dr
w = mv = m — = — т —, dt dt
откуда

• 
  —dr.
  

Подставляя сюда значение скорости фильтрации w из (4.34) и интегрируя в пределах от 0 до t и от R₀ до г, получим закон дви­жения жидких частиц:
k (Рк — Рс) 2 Q
где R₀ — начальное положение частицы жидкости в момент времени / = 0; г — текущее положение частицы жидкости в момент вре­мени t.
Время Т отбора всей жидкости из кругового пласта радиусом R_K получим, если в (4.36) подставим вместо R₀ радиус контура пита­ния Як, а вместо г — радиус скважины г_с. Тогда
Т
(4.37)
= nmh (rI— rf)/Q.
Вычислим средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление
Р = —, J pdVпор-
'^П0Р ^vnop
Здесь Упор = я (Rx—г?) hm — полный поровый объем в пласте радиусом R_K; Упор = л (г²—г?) hm — объем пор в части пласта
радиусом г.
Используя эти величины и формулу (4.32) для давления р, на­ходим

С

откуда после интегрирования получим



(4.38)
При вычислении интеграла предполагали, что r_c R_K.
Таким образом, характеристики установившегося плоскора­диального потока несжимаемой жидкости в однородном пласте определяются по формулам (4.32) — (4.38). Проанализируем эти соотношения. Прежде всего отметим,, что во все выведенные фор­мулы входят разности давлений, поэтому под величинами р_к и р_с можно подразумевать как абсолютное, так и избыточное давление.
Дебит скважины, как следует из формулы Дюпюи (4.35), прямо пропорционален перепаду давления Ар = р_к—р_с и одинаков че­рез любую цилиндрическую поверхность, соосную скважине, т. е. от г не зависит.
График зависимости дебита от перепада давления называется индикаторной диаграммой. Следовательно, в рассматриваемом по­токе индикаторной линией является прямая (рис. 4.10).
Отношение дебита скважины Q к перепаду давления Ар назы­вается коэффициентом продуктивности скважины К. Из формулы

35. 
    находим
    

(4.39)

Q 2nkh

йр

Р ис. 4.10. Индикаторная диа­грамма плоскорадиального пото_; ка несжимаемой жидкости по закону Дарси
JPuc. 4.11. График зависимости градиента давления и скорости филь­трации от расстояния до центра скважины
Размерность коэффициента продуктивности К, как это следует из формулы (4.39), будет
[/С] = (м³/с)//7а = (м⁴ • с)/кг.
Если при исследовании скважины замерены ее дебит и перепад давления, известны толщина пласта, вязкость нефти в пластовых условиях, радиус скважины и радиус контура питания, то из фор­мулы Дюпюи можно определить проницаемость пласта
In
k— ^r° .
2nh (p_K — p_c)
Как видно из формул (4.33) и (4.34), градиент давления dpi dr и скорость фильтрации w в любой точке пласта обратно пропор­циональны расстоянию г от этой -точки до оси скважины. График зависимости градиента давления и скорости фильтрации от коор­динаты г, изображенный на рис. 4.11, представляет собой равно­бочную гиперболу. Из графика видно, что при приближении к сква­жине и градиент давления, и скорость фильтрации резко возрас­тают, достигая максимального значения на стенке скважины. Этот вывод совершенно очевиден и из самого определения скорости филь­трации как отношения объемного расхода жидкости к площади фильтрационной поверхности:
w = Q/(о = Ql(2nrh).
Из формулы (4.32) следует, что давление в пласте распределено по логарифмическому закону. Графиком зависимости р ~ р (г) является логарифмическая кривая, изображенная на рис. 4.12, вращение которой вокруг оси скважины образует поверхность, называемую воронкой депрессии.
Необходимо отметить, что в точках г = R_K кривая распределе­ния давления не касается горизонтальной линии, а подходит к ней под некоторым углом.
Воронка депрессии вследствие логарифмического закона рас­пределения давления имеет большую крутизну вблизи скважины.
Рис. 4.12. График распределения давления в плоскорадиальном филь­трационном потоке
Рис. 4.13. Гидродинамическое поле плоскорадиального фильтрационно­го потока
Следовательно, основная часть депрессии на пласт сосредоточена в призабойной зоне скважины, параметры которой сильно влияют на дебит скважины.
Уравнения семейства изобар в рассматриваемом плоскорадиаль­ном фильтрационном потоке можно установить по формуле (4.32), откуда следует, что давление будет одинаковым в тех точках пло­скости движения, в которых г = const, или в декартовых коорди­натах х^г + у^г ~ г². Следовательно, изобарами являются окруж­ности, концентричные оси скважины. Очевидно, что и здесь изо­бары ортогональны траекториям, совпадающим с радиусами ука­занных окружностей (рис. 4.13).
Заметим, что все выведенные в данном разделе формулы ос­таются справедливыми и для нагнетания жидкости в пласт. В этом случае р_с>р_к, и в формулы (4.32) — (4.35) вместо р_к—р_с необхо­димо подставить разность р_с—р_к, а график распределения давле­ния в пласте (см. рис. 4.12) следует зеркально отобразить в гори­зонтальной плоскости р_к = const.
Важной характерной особенностью формулы Дюпюи (4.35) яв­ляется слабая зависимость дебита Q от радиуса R_K контура пита­ния для достаточно больших значений RJr_c, так как радиусы г_с и R_K входят в нее под знаком логарифма.
Радиально-сферический установившийся фильтрационный поток
Схема такого потока изображена на рис. 4.14. Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к скважине, вскрывшей одно­родный пласт весьма большой (теоретически бесконечной) тол­щины, через полусферический забой, радиус которого равен ра­диусу скважины г_с.
Допустим, что начальное приведенное давление во всем пласте и на забое скважины равно рк. Затем приведенное давление на за­бое скважины снизили до р_с и поддерживали его постоянным. При­веденное давление на достаточно удаленной от забоя полусфер иче-
Рис. 4.14. Схема радиально-сфериче- Рис. 4.15. Трубка тока в радиально- ского фильтрационного потока сферическом потоке
ской границе радиуса R_K сохраняется постоянным и равным р*_к
В пласте будет иметь место установившийся радиально-сфериче- ский поток несжимаемой жидкости, описываемый дифференциаль­ным уравнением (4.4).
Для упрощения исследования уравнение Лапласа (4.4) удобно представить в сферических координатах, имея в виду, что р = р (г). Для наглядности поступим аналогично предыдущему случаю, исходя непосредственно из схемы течения в трубке тока перемен­ного сечения.
В радиально-сферическом потоке трубка тока с телесным уг­лом ф и площадью фильтрационной поверхности со (s) = (рг² (где г — радиус-вектор этой поверхности) имеет вид, изображенный на рис. 4.15.
Используя равенства s = R_K—г, ds = — dr и закон Дарси, аналогично случаю плоскорадиального потока находим