Подземная гидравлика

I V п{р)

Приведенные простые определения и утверждения исчерпывают содержание анализа размерностей и теории подобия. Подчеркнем специально, что больше в этой теории ничего нет. И тем не менее исследователям удавалось, используя ее, получать важные ре­зультаты.

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ В ПОДЗЕМНОЙ ГИДРАВЛИКЕ

1. 
   Методы теории размерностей часто применяются в подземной гидравлике. Они оказываются полезными уже при выводе основ­ного закона фильтрации — закона Дарси.
   

Основное предположение при выводе этого закона заключается в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой —*•
среды w определяется вектором градиента давления grad р и ха­рактеристиками пористой среды и жидкости.
Пористая среда считается однородной и изотропной и характе­ризуется следующими параметрами: средним размером пор к, без­размерным коэффициентом пористости т и некоторыми другими характеристиками, которые также можно считать безразмерными, например кривой распределения пор по размерам.
Фильтрующаяся жидкость, которую мы сперва считаем одно­компонентной и ньютоновской, характеризуется только вязкостью fi и плотностью р.
Таким образом, мы принимаем, что скорость фильтрации w зависит от параметров grad р, d, т, р, ц, а также от других безраз­мерных характеристик пористой среды, влияние которых мы здесь обсуждать не будем.
Среди перечисленных параметров только одна величина (grad р) является вектором. Отсюда следует, что направления векторов скорости фильтрации и градиента давления должны совпадать. Если бы вектор скорости фильтрации составлял конечный угол с вектором градиента давления, то при повороте малого элемента пористой среды вокруг направления вектора градиента давления он тоже должен был бы повернуться вместе с элементом. Но по­скольку при таком повороте свойства течения не должны меняться, так как среда изотропна, вектор скорости фильтрации должен оставаться неизменным. Это может быть только в том случае, если вектор скорости направлен вдоль вектора градиента давле­ния. Таким образом, получаем
grad р = —cw, (2.19)
где с — скаляр, зависящий только от модуля вектора скорости, а также от величин d, т, р, ц.
Закон Дарси справедлив для медленных фильтрационных про­цессов, для которых силы инерции несущественны. Поэтому для таких процессов несущественна плотность жидкости р, определяю­щая свойство ее инерции.
Таким образом, для медленных безынерционных течений ньюто­новской жидкости в изотропной пористой среде справедлив закон фильтрации (2.19), причем коэффициент пропорциональности с — а может зависеть только от определяющих параметров w = a_lt d = а₂, ц = а₃, tn — а₄. Размерности определяемого и определяю­
щих параметров, как нетрудно видеть, записываются в виде
N=~. [d]=L, M = [m] = 1. (2.20)
Первое из этих соотношений следует из того, что размерности обеих частей уравнения (2.19) должны быть одинаковыми. Как видно, в данном случае л = 4, k = 3, так что п—k — 1. Размер­ности параметров w, d и ц, как читатель легко проверит сам, не­зависимы; безразмерным параметром подобия здесь оказывается четвертый определяющий параметр — коэффициент пористости /п.
Имеем, очевидно,
[c] = [w]nd)-²M, (2.21)
так что
Я = с/(цЛ-²), П₁ = т (2.22)
и анализ размерности дает окончательно
с = (хФ (m)/d². (2.23)
Заметим, что в данном случае независимость с от скорости полу­чилась из одного анализа размерностей.
Обозначим величину d²/Ф (т) через k. Данная величина назы­вается коэффициентом проницаемости. Закон фильтрации (2.19) приводится при этом к виду
w= —— grad p. (2.24)
й

2. 
   Если инерция жидкости существенна, что обязательно будет при больших скоростях фильтрации, например в призабойной зоне скважины, то к числу определяющих параметров добавится плот­ность жидкости р, а к числу безразмерных параметров подобия — параметр
   

Я₂ = wdpl (х, (2.25)
называемый числом Рейнольдса фильтрационного движения в по­рах.
Соотношение (2.19) согласно анализу размерностей переписы­вается в более сложном виде
gradp = шФх ^ ^wdp , rnj. (2.26)
При малых значениях параметра Я₂ функцию Ф_х согласно фор­муле конечных приращений Лагранжа можно представить в виде
ф_{х т}\ ₌ ф₁ (_{0) m}) ₊ J^0(_m). (2.27)

• 
  ц / U
  

Согласно сказанному в п. 1 величина Ф_х (0, т) должна быть равной единице. Подставляя (2.27) в (2.26) и вспоминая, что k —
37
= dVO (m), находим
gradp = —w—p ~Lw, (2.28)
k yk
где p — также некоторая функция пористости.
Выражение (2.28) представляет собой двучленный закон филь­трации.

3. 
   Вернемся снова к безынерционным течениям, однако теперь будем рассматривать фильтрацию неньютоновской жидкости, ха­рактеризующейся предельным напряжением сдвига т₀, до дости­жения которого жидкость ведет себя как твердое тело, а после — как вязкая жидкость под действием избыточного напряжения сдвига т—т₀. Таково поведение многих нефтей, в частности нефтей на месторождениях Прикаспия. Тогда к определяющим парамет­рам п. 1 добавляется параметр т₀ и появляется новый определяю­щий параметр