Pedagogik va psixologiya yo'nalishi 118 gurux talabasi Shermatov Jasurbek Qoʻchqor og'li

Ellipsning xossalari:
1. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo`lgan masofalar yig`indisi o`zgarmas va 2a ga tengdir.
Bu xossa bevosita xisoblash yordamida tenglikni tekshirish bilan isbotlanadi:
2. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo`lgan masofalarning mos direktrissalargacha bo`lgan masofalargacha nisbati o`zgarmas va e soniga tengdir. Bu xossa bevosita tenglikni tekshirish yordamida isbotlandi.




Ellipsning geometrik aniqlanishi

Tekislikda 2 ta nuqta berilgan bo`lsa, bu nuqtalargacha bo`lgan masofalarning yig`indisi o`zgarmas songa teng bo`ladigan nuqtalarning geometrik o`rni ellips bo`ladi.

I sbot. Tekislikda F₁, F₂ nuqtalar berilgan. Biz tekislikning nuqtasidan bu nuqtalargacha bo`lgan masofalarni mos ravishda r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub> ko`rinishida belgilab tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o`rnini aniqlashimiz kerak. Berilgan nuqtalar orasidagi masofani 2c bilan belgilasak, tenglikdan a > c munosabat kelib chiqadi. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz. Berilgan F<sub>1</sub>, F<sub>2</sub> nuqtalardan yotuvchi to`g`ri chiziqni absissa o`qi sifatida olamiz, unda musbat yo`nalish F<sub>1</sub> nuqtadan F<sub>2</sub> nunqtaga qarab yo`nalgan bo`ladi. Koordinata boshini F<sub>1</sub>, F<sub>2</sub> nuqtalarning o`rtasiga joylashtirib, ordinata o`qi sifatida absissa o`qiga perpendikulyar ixtiyoriy o`qni olamiz.
Masofalar uchun

ifodalarni yuqoridagi tenglikka qo`yib,

tenglikni xosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tomonini kvadratga oshirib hadlarni ixchamlashtirib, yana qayta kvadratga oshiramiz va quyidagi,

tenglamani hosil qilamiz. bu yerda belgilash kiritilgan.

Bizga ℓ to`g`ri chiziq va unga tegishli bo`lmagan nuqta F berilgan bo`lsa, tekislikda berilgan nuqtagacha bo`lgan masofasining berilgan to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofasida nisbati o`zgarmas birdan kichik e soniga teng bo`lgan nuqtalarning geometrik o`rni ellips bo`ladi.

Bu faktni isbotlash uchun berilgan F nuqtdan to`g`ri chiziqqa perpendikulyar to`g`ri chiziq o`tkazib , uni absissa o`qi sifatida olamiz. Natijada absissa o`qini F nuqta ikki qismga ajratadi. Berilgan F nuqtadan to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofaning e soniga ko`paytmasini p bilan belgilab, quyidagi tengliklar bilan
va
a, b, c sonlarni kiritamiz. Koordinata boshini absissa o`qining ℓ to`g`ri chiziqni kesmaydigan qismida F nuqtadan c birlik masofada joylashtiramiz. Natijada koordinata boshidan ℓ to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofa

kattalikka teng bo`ladi. Bu yerda p<sub>1</sub> bilan F nuqtadan ℓ to`g`ri chiziqgacha bo`lgan masofa berilgan. Demak, ℓ to`g`ri chiziq tenglamasi,

ko`rinishida bo`ladi. Ikkinchi koordinata o`qini ℓ to`g`ri chiziqqa parallel o`tkazib, tekislikning M(x, y) nuqtasidan F nuqtagacha bo`lgan masofani r bilan, ℓ to`g`ri chiziqgacha bo`lgan masofani d bilan belgilasak, tenglikdan, , tenglikni olamiz.