Педагогик аннотацияси ўқув предмети: Алгебра ва сонлар назарияси 16-Мавзу: майдоннинг алгебраик кенгайтмаси

Ўзнавбатида r_ij(x) =x^i+j– F(x)q_ij(x). Бундан қуйидаги, cўнгги натижагаэришамиз
r(x) =x^i+j+k – F(x)q(x),бундаги q(x)=q_ij(x)x^k+q₁(x) (7)
r(x) нинг кўпҳадли (6) даги ифодасидан кўринадики, r(x) нинг даражаси n дан кичик, чунки r_sk(x)қолдиқларнинг даражалари, бўлучи F(x)нингn даражасидан кичикдир. Шундай килиб,(7) тенгликдаги r(x) кўпҳалдиx^i+j+kниF(x) бўлишдан ҳосил бўлган қолдиқлар.
Бинобарин, (ε_iε_j)ε_k кўпайтмани ҳосил қилиш учун x^i+j+kни F(x) га бўлишдан ҳосил бўладиган r(x) колдиқни топиб ундаги x=e,x,…,x^n-1 дaражаларни уларга мос бўлмиш ε₀, ε₁, ..., ε_n-1 базис элементлари билан алиштириш керак.
ε_i(ε_jε_k) кўпайтма учун ҳам худди шундай натижа ҳосил бўлади: илгаргидек x^i+j+k ни F(x) га бўлиш керак. Демак, (ε_iε_j)ε_k = ε_i(ε_jε_k) яҳни базис элементларни кўпайтириш ассоциатив қонунга бўйсунади.
Энди бизнинг алгебрамизнинг ўзи нимадан иборат эканлигини кўрайлик. Ҳаммадан олдин бу алгебранинг коммутатив эканлиги очиқ маълум – ε_iε_j ёки ε_jε_iкўпайтмалардан қайси бириии олмайлик, у кўпайтмаларни топиш учун биргина x^i+jдаражани F(х)га бўлиш керак. Сўнгра ε₀ алгебранинг бирлик элементи эканлиги ҳам очид кўрсатиб турмокда. Бундан Pмайдоннинг бизнинг алгебрамиз ичида эканлиги келиб чиқади, шу сабабли баз ε₀=e деб кабул қилаоламиз ва бундаги емайдон P нинг бирлик элементидир. Сўнгра қуйидагиларни ҳам пайқаш қийин эмас

Шундай килиб алгебранинг ҳарбир элементи мана бу кўринишга эга

Энди нинг қанчага тенглигини топамиз. IIIy мақсад билан, бўлгани учун, x^n-1x=xⁿни F(x) га бўлишдан ҳосил бўлган қолдиқни топиш керак. Маълумки хⁿ ни F(х)га бўлгандан ҳосил бўлган колдиқ мана бунга тенг

Демак,

бундан

яҳни базисли элемент F(х)нинг илдизи бўлар экан.
Ниҳоят, 1 теоремадаги исботни айнан такрорлаш натижасида биз текшираётган алгебранинг майдон эканлигига ишонмоқ мумкин.
Бинобарин, биз кўрган алгебра изланаётган P' майдондан иборат бўлиб, унинг ичида F(x) илдизга эга ва шy илдиз ε₁ нинг ўзи экан.
Яна шуни қайд қилиб ўтамизки, ҳалиги P' мпйдон, ε₁ниP га бирлаштиришдан ҳосил бўлган, P(ε₁) алгебраик кенгайтманинг ўзгинасидир. Бу натижа теореманинг бошдан охиригача қилинган исботидан келиб чиқади.
Кўпҳадли F'(x) нинг мос кенгайтма ичида илдизи борлигига ишонганлигимиздан кейин, энди ажратиш майдони тўғрисидаги муҳим тушунчани киритамиз.
Фараз этайлик,f(х), P майдон устидаги бирор n-ичи(n≥1.) даражали кўпҳадли бўлсин. f(x) кўпҳадлининг ажралишмайдони деб P майдоннинг шундай ∑ кенгайтмасига aйтиладики, унинг ичида f(x)n-та илдизга эга, яҳни унинг ycтuдаf(x) чизиқли кўпайтиручиларга бутунлай ажралади.
Текшириш шуии кўрсатадики, ноль даражадан юқори бўлган ҳарқандай f(x) кўпҳадли учун ажралиш майдони мавжуд экан; аниқрок қилиб айгганимизда қуйндаги теорема ўринликдир.
2-ТЕОРЕМА. (Ажралиш маёдонининг мавжудлиги тўғрисида). P[x]ҳалқадан олинган нолҳ даражадан юқори бўлган ҳарқандай f(x) кўпҳадли учун ажралши майдони мавжуддир.
Исбот. Фараз этайлик,f(х), P[х] ичидан олинган нольдан юкори даражали бирор кўпҳадли бўлсин (P ичида келтириладиган ёки келтирилмайдиган–барибир). AгapуP майдон устида чизиқли кўпайтиручиларга бутунлай ажралса, унда P майдон f(x) кўпҳадли учун Pажралиш майдони бўлиб қолади. Aгapf(x) учун P ажралиш майдони бўлмаса, унда биз f(x) кўпҳадлининг нольдан юқори даражали (P ичида) келтирилмайдиган биpop кўпайтиручисига мурожаат қиламиз ва шу келтирилинйдиган кўпайтиручининг илдизини ўз нчига оладиган P майдонинг P₁ кенгайтмасини кўрамиз. Агарда бу P₁ кенгайтма ҳам f(x) учун ажралиш майдони бўлмаса, у вақтда биз продессни давом этказамиз: P₁ майдоннинг шундай бир P₂ кенгайтмасини кўрамизки, унинг ичида f(x) кўпҳадлининг нольдан юкори даражали (P₁ ичида) келтирилмайднган бирор кўпайтиручиси илдизга эга бўлсин ва ҳоказо. Очиқ ма’лумки, чекли сондаги қадамлардан қейии биз f(x) кўпҳадлининг, ажралиш майдонига етиб келамиз.
Комплекс сонлар майдони кўп учрайдиган майдонлардан биридир, уни биз ҳақиқий сонлар майдонининг кенгайтмаси деб қарамоғимиз мумкин. Биз қуйида кўрсатамизки, комплекс сонлар майдони фақат ҳақиқий коэффициентли эмас, ҳаттоки комплекс коэффициентли қарқандай n≥1 даражали кўпҳадли учун ҳам ажралиш майдони бўлади. Шy мақсад билан бизга бирнеча номаълумли кўпхадлилар назариясидаги бaҳзи маълумотлардан фойдаланишга тўғри келади.


МУСТАҚИЛ ЕЧИШ УЧУН МИСОЛЛАР.
5.1.R ҳақиқий сонлар майдонида илдизлари қуйидагилардан иборат бўлган энг кичик даражали нормал кўпҳад тузинг.
a) 2+i оддий ва 1 икки каррали илдиз бўлса.
b)-3 оддий va 1-i икки каррали илдиз бўлса
v) 1-i оддий va 2+i икки каррали илдиз бўлса,
g) -1-i оддий, i va 1-i лар икки каррали илдиз бўлса,
d) 2-3i уч каррали илдиз бўлса
5.2. Қуйидаги кўпҳадларни R да келтирилмайдиган кўпҳадлар кшпайтмаси шаклида ифодаланг.
a) b)
v) g)
d) e)
z) i)
4.3 Quyidagi ko’phadlarni S kompleks sonlar maydoni keltirilmaydigan ko’phadlar ko’paytmasiga yoying
a) b)
v) g)
d) e)
J:


АМАЛИЙ ВАЗИЯТНИ БОСҚИЧМА – БОСҚИЧ ТАҲЛИЛ ҚИЛИШ ВА ҲАЛ ЭТИШ БЎЙИЧА ТАЛАБАЛАРГА УСЛУБИЙ КЎРСАТМАЛАР
Талабаларга йўриқнома

Иш босқичлари	Маслаҳатлар ва тавсияномалар.
1. Кейс ва унинг ахборот таҳминоти билан танишиш	Аввало кейс билан танишинг. “Майдоннинг алгебраик кенгайтмаси” ҳақида тушунча ҳосил қилиш учун бор бўлган бутун ахборотни диққат билан ўқиб чиқиш лозим. Ўқиш пайтида вазиятни таҳлил қилишга шошилманг
2. Берилган вазият билан танишиш	Маълумотларни яна бир маротаба диққат билан ўқиб чиқинг. Сиз учун муҳим бўлган сатрларни белгиланг. Бир абзацдан иккинчи абзацга ўтишдан олдин, уни икки уч маротаба ўқиб мазмунига кириб борамиз. Кейсдаги муҳим фикрларни қалам ёрдамида остини чизиб қўйинг. Вазият тавсифида берилган асосий тушунча ва ибораларга диққатингизни жалб қилинг. Чизиқли тенгламалар системаси устида бажариладиган элементар алмаштиришларни яхши ўрганиб уларни векторлар системаси устида бажариладиган элементар алмаштиришлардан фарқини аниқланг.
3. Муаммоли вазиятни таҳлил қилиш	Асосий муаммо ва кичик муаммоларга диққатингизни жалб қилинг. Асосий муаммо: Агар P майдон. кенгайтмаси бўлмишΩнингθэлементи P га нисбатан алгебраик бўлса, у ҳолда P га θэлементни бирлаштиришдан ҳосил бўлган, P[θ]ҳалқа бир вақтда майдон ҳам бўладими? Қуйидаги саволларга жавоб беришга ҳаракат қилинг. Комплекс сон деб нимага айтилади? Илдизнинг мавжудлиги тўғрисидаги теоремани айтинг? Майдонга таҳриф айтинг? Ажралиш майдонининг мавжудлиги тўғрисида теоремани айтинг? Асосий муаммо нимага қаратилганини аниқланг. Муаммонинг асосий мазмунини ажратиб олинг. Муаммоли вазиятни таҳлил қилиш – обҳектнинг ҳолатини аниқланг, асосий қирраларига эҳтибор қаратинг, муаммоли вазиятнинг ҳамма томонларини таҳлил қилинг. Кўпхадлар камида битта илдизга эга бўлишини аниқланг.
4. Муаммоли вазиятни ечиш усул ва воситаларини танлаш ҳамда асослаш	Ушбу вазиятдан чиқиб кетиш ҳаракатларни излаб топиш мақсадида қуйида тақдим этилган “Муаммоли вазият” жадвалини тўлдиришга киришинг. Муаммони ечиш учун барча вазиятларни кўриб чиқинг, муқобил вазиятни яратинг. Муаммонинг ечимини аниқ вариантлардан танлаб олинг, муаммонинг аниқ ечимини топинг. Жадвални тўлдиринг. Кейс билан ишлаш натижаларини ёзма шаклда илова этинг

“Муаммоли вазият” жадвалини тўлдиринг

Вазиятдаги муаммолар тури	Муаммоли вазиятнинг келиб чиқиш сабаблари

Тўлдирилган жадвал (ўқитувчи олдиндан тўлдиради – талаба қўлига берилмайди)

Муаммоли вазият	Муаммоли вазиятнинг келиб чиқиш сабаблари
Агар P майдон. кенгайтмаси бўлмишΩнингθэлементи P га нисбатан алгебраик бўлса, у ҳолда P га θэлементни бирлаштиришдан ҳосил бўлган, P[θ]ҳалқа бир вақтда майдон ҳам бўладими?	Майдон хоссаларини билмасликдан, кўпхадлар хоссаларини яхши билмасликдан