Педагогик аннотацияси ўқув предмети: Алгебра ва сонлар назарияси 16-Мавзу: майдоннинг алгебраик кенгайтмаси

f(х)= с₀+c₁x +. . . +с_mx^m
кўпҳадлини олиб yнир(х)гa бўламиз. Фараз этайлик, р(х)га бўлиш натижасида q(х) бўлинма ва
r(х)=а₀+а₁x+…+а_k-1x^k-1
колдиқ келиб чиққан бўлсин, бундаги а_i ларнинг яна P элементи эканлиги аён. У вақтда биз шундай ёзаоламиз
f(x)=p(x)q(x)+r(x)
Бу тенгликдаги х ни θ га алмаштирсак,
f(x)=с₀+c₁θ +. . . +с_mθ^m=r(θ)= а₀+а₁θ+…+а_k-1θ^k-1
келиб чиқади, чунки p(θ)=0.
Эндибиз бўлиш амалининг мумкинлик масаласи билан машғул бўлаоламиз. P[θ] ичидан қандайдир иккита элементни олайлик:
α = а₀+а₁θ+…+а_k-1θ^k-1≠0
ва
β=b₀+b₁θ+…+b_k-1θ^k-1.
Энди
αx=β (2)
тенгламани P[θ] ичида ҳал қилиш мумкинлигини кўрсатамиз. Мана бу
g(х)=а₀+а₁x+…+а_k-1x^k-1
кўпҳадлининг нольга тенг бўлиши мумкин эмас, чунки акс ҳолда a₀=a₁=…=a_k-1=0 бўлиб, а элемент нольга тенг бўлиб қолади, Демак, g(x) нольга тенг эмас ва р(х) гaқараганда паст даражали кўпҳадли бўлгани учун р(х) гa бўлинаолмайди. Бундан, р(х) нинг P майдонда кёлтирилмайдиган бўлгани учун g(x) ва р(х) кўпҳадлиларнинг ўзаро оддий эканлиги келиб чиқади (§ 27 даги кўпҳадлининг келтирилмаслик хоссаларига қаралсин). Модомики шундай бўлар экан, бизга маълумки P майдонда шундай иккита φ(х) ва ϕ(x)кўпҳадлини танлаб олаш мумкинки, натижада yшбу тенглик ўринли бўлади
g(x)φ(х)+p(х)ϕ(x) =е (е– P майдонда бирлик)
IIIy тенгликдаги х ниθ элемент билан алиштирамиз. У вақтда р(х) нольга тенг бўлган қийматни қабул қилади, g(x) эсаа гa тенг бўлган қийматни қабул қилади, натижада қуйидагига эришамиз:
αξ=е, (3)
бундаги ξ=φ(θ). Энди биз ушбу
x=ξβ
(2) тенгламанинг илдизи эканлигини тасдиқлаймиз. Ҳақиқатан ҳам, (3) тенгликка мувофиқ
α(ξβ) = (αξ)β = еβ = β.
Ҳозиргина исбот қилинган теоремага асосап, θ алгебраик элемент бўлган ҳолда биз P[θ] даги квадрат қавсларни кичик қавслар билан алиштираоламиз ва P(θ) ни P га θ инбирлашmириш йўли билан ҳосил қилинган алгебраик кенгайтма деб атаймиз. „Алгебраик кенгайтма“ деган сўзлар бирлаштирилучи θ нинг алгебраик эканлигини кўрсатади (P га нисбатан).
Алгебраик P(θ) кенгайтманинг қуйндаги ажойиб хусусиятини қайд қилиб ўтамиз:
P гаθэлементни бирлаштирш йўли билан ҳосил қалинганP(θ) алгебраик кенгайтманинг ҳамма элементлариP гa нисбатан алгебраикдирлар.
Исбот.Фараз этайлик, α – P(θ) нинг иҳтиёрий элементи ва θ эса P майдонда келтирилмайдиган
p(x)=p₀+p₁x+…+p_kx^k, p_k≠0 (p_i-P нинг элементлари)
кўпҳадининг илдизи бўлсин. У вақтда αθ, αθ², . . . , αθ^k-1 ларнинг P(θ) га тегишли эканлиги аён, шунга асосан қуйидагича
αθⁱ= a_i0 + a_i1θ + . . . + a_ik-1θ^k-1 (i= 0, 1,..., k – 1),
ёки
a_i0+ a_i1θ + ... + (a_i1–α)θⁱ+…+ a_ik-1θ^k-1 = 0 (i=0, 1,..., k– 1)
ёзиў мумкин.
Биз бунда кўрамизки, kта x₀, x₁,…, x_k номаълумли kта чизиқли биржинсли ушбу
a_i0+ a_i1х+ ... + (a_i1–α)х ⁱ+…+ a_ik-1 х^k-1 = 0 (i=0, 1,..., k– 1)
тенгламалар системаси нольли бўлмаган мана бу
x₀=1≠0, x₁=θ, x₂=θ², …, x_k-1=θ^k-1
ечилмага эгадир. Шундай қилиб, (4) система детермнианти нольга тенг бўлиши керак:

яҳни α коэффициентлари P майдондан олинган k–нчи даражали ушбу

тенгламанинг илдизи экан; иккинчи турли айтганда биз α нинг P га нисбатан алгебраик элемент эканлигини кўрсатдик.
Энди биз илдизнинг мавжудлигини қйси йўл билан исбот қилишни биламиз- тегишли P(θ) алгебраик кенгайтма қуриш керак.
Илдизнинг мавжудлиги тўғрисидагитеореманинг исботи.P майдон устидаги n–нчи рангли алгебрани кўриб чиқайлик, унинг ε₀, ε₁, ..., ε_n-1 базис бўйича олинганкўпайтйриш жадвали қуйидигидан иборат: ҳарбир ε_i базисли элементга мос қилиб xⁱолинади ε_iε_j кўпайтмани ҳосил қилиш учун х номаълумининг мос даражалари ўзаро кўпайтирилади:
xⁱx^j=x^i+j. Сўнгра x^i+j ни
F(х)= A₀xⁿ+ A₁х^n-1+...+A_n(n≥2)
кўпҳадлига бўлишдан ҳосил бўладиган ушбу

қолдиқ топилади ва бу r_ij(х) колдикдаги xⁱ даражалар мос равишда ε_i базисли элементлар билан алиштирилади. Мана шy алмаштириш натижасида ушбу

ифода ҳосил бўлиб у, ε_i, ε_j кўпайтма ҳисобланади:

Биз ҳозир ҳакиқатан ҳам алгебра билан иш кўраётганимизни кўрсатамиз, яҳни биз киритган базисли элеметларникўпайтириш ассоцатив қонунга бўйсунади.
Дастлаб, (ε_i, ε_j)кўпайтманингқанчагатенглигинианиқлаймиз. (5) тенгликка биноан мана бунга эга бўламиз

ε_sε_k кўпайтмани келтириб чйқариш учун x^s+k ни F(х)га бўлишдан ҳосил бўлган r_sk(х) қолдиқдаги xⁱ ни ε_i билан алиштирмoқ керак. Демак, (ε_iε_j)ε_k кўпайтмани ҳосил қилиш yчyн

кўпҳадлидаги хⁱ даражаларни уларга мос бўлган ε_i базислиэлементлар билан алмаштирмоқ керак. Лекин қолдиқли бўлиш алгоритмига мувофиқ биз қуйидагича
r_sk(x) =x^s+k – F(x) q_sk(x)
ёзаоламиз, бундагиq_sk(x), F(x)гaх^s+kнибўлишданкелибчиққанбўлинмадир. Шундай

бундаги