O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti kattaqo’RG’on filiali “аxborot texnologiyalari” kafedrasi

d
2
 
- birinchi darajali, koeffisiyenti 
a
0
va 
a
1
ga teng bo’lgan ko’phad. 
d
n+
1
uchun xuddi shu kabi: 
n
n
n
n
a
x
a
x
a
d






...
1
1
0
1
munosabat o’rinli 
ekanligini ko’rsatamiz. 
Faraz qilaylik,
1
2
1
1
0
...







n
n
n
n
a
x
a
x
a
d
o’rinli bo’lsin.
d
n
ning bu 
ifodasini (1) ga qo’ysak,
n
n
n
n
a
x
a
x
a
d






...
1
1
0
1
hosil bo’ladi. ■ 
6-m i s o l.
 
n
-tartibli
2
cos
2
1
...
0
0
0
cos
2
cos
2
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
0
...
2
cos
2
1
0
0
0
...
cos
2
cos
2
1
0
0
...
0
cos
2
cos
2
2
2
2
2
2









n
d
determinantni hisoblang. 
Yechish.
d
n
ni 1-ustun bo’yicha yoyamiz.

---

208 
2
cos
2
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
0
...
cos
2
cos
2
1
0
0
...
0
0
cos
2
cos
2
2
2
1
2









n
n
d
d
O’ng tomondagi ikkinchi determinantni birinchi satri bo’yicha yoyamiz. 
Natijada 
1
1
2
cos
2
cos
2






n
n
n
d
d
d


rekurrent munosabat hosil bo’ladi. 
Bunda 
2
cos
2
2

ni 1 + cos

 
bilan almashtirib,
2
1
cos
)
cos
1
(






n
n
n
d
d
d


(2) 
ga kelamiz. (2) rekurrent munosabatda 
n
ni 
n
-1 bilan almashtiramiz. U holda 
3
2
1
cos
)
cos
1
(







n
n
n
d
d
d


ga teng bo’ladi. 
d
n-
1
ning bu ifodasini (2) ga 
qo’ysak, 
3
2
2
cos
)
cos
1
(
)
cos
cos
1
(








n
n
n
d
d
d




(3) 
ga ega bo’lamiz. (2) da 
n
ni 
n
-2 bilan almashtirib, 
4
3
2
cos
)
cos
1
(







n
n
n
d
d
d


va uni (3) ga qo’yib, 
4
2
3
3
2
cos
)
cos
cos
1
(
)
cos
cos
cos
1
(










n
n
n
d
d
d






ifodani 
topamiz va h.k.
1
3
2
2
cos
)
cos
...
cos
1
(
)
cos
...
cos
1
(
d
d
d
n
n
n
















,






cos
1
,
cos
cos
1
2
cos
2
1
cos
2
cos
2
1
2
2
2
2






d
d
ifodasini va natijada 


n
n
d
cos
...
cos
1




ni hosil qilamiz. 
d
n
ning bu ifodasini 
matematik induksiya usuli yordamida tekshiramiz.

---

209 
Rekurrent munosabatlar usuli determinantning umumiy ko’rinishidagi 
qonuniyatni topish talab etadi. Bu usulning qiyinchiligi ham shunda. 
2
,
2
1





n
qd
pd
d
n
n
n
,
(4) 
ko’rinishdagi rekurrent munosibatni qanoatlantiruvchi determinantlarni o’rganish 
bilan chegaralanamiz. (4) dagi
p
va
q
lar
n
dan bog’liq bo’lmagan o’zgarmas 
kattaliklar.
q = 0
bo’lganda,
d
n
geometrik progressiyasining hadini hisoblagan kabi 
hisoblanadi: 
1
1
d
p
d
n
n


, bunda 
d
1 
- 1-tartibli determinant, ya’ni
d
n 
ning chap yuqori 
burchagida turgan element. 
q 

 0
bo’lsin. 

, 

-lar 
0
2



q
px
x
kvadrat tenglamaning ildizlari bo’lsin. 
U holda 







q
p
,
bo’lib, (4) tenglikni quyidagi ikki xil ko’rinishda yozish 
mumkin:
)
(
2
1
1






n
n
n
n
d
d
d
d



,
(5) 
)
(
2
1
1






n
n
n
n
d
d
d
d



,
(6) 



bo’lsin. Geometrik progressiyaning (
n
-1)-hadini topish formulasidan (5) 
va (6) larga ko’ra 
)
(
1
2
2
1
d
d
d
d
т
n
n








va 
)
(
1
2
2
1
d
d
d
d
т
n
n








, bundan esa, 













)
(
)
(
1
2
1
1
2
1
d
d
d
d
d
n
n
n
yoki 
n
n
n
c
c
d


2
1


, bunda



)
(
1
2
1







d
d
c
, 
)
(
1
2
2







d
d
c
(7) 

---

210 
ni hosil qilamiz. 
d
n
ning bu ifodasi 
n > 2 
uchun hosil qilingan bo’lib, 
n=
1 va 
n=
2
 
lar 
uchun bevosita tekshiriladi. 
c
1
va 
c
2
larning (7) munosibatdan emas, balki 
boshlang’ich 
2
2
2
1
2
2
1
1
,




c
c
d
c
c
d




shartlardan topish mumkin. 



bo’lsin. (5) va (6) tengliklar bitta
),
(
2
1
1






n
n
n
n
d
d
d
d



tenglikka aylanadi. Bundan
2
1




n
n
n
A
d
d


,
(8) 
hosil qilamiz. Bunda 
1
2
d
d
A



. 
(8) da 
n
ni 
n-
1
 
bilan almashtirib, 
3
2
1





n
n
n
A
d
d


ni, va undan esa 
2
2
1





n
n
n
A
d
d


ni hosil qilamiz. Bu ifodani (5) tenglikka qo’yib: 
2
2
2
2




n
n
n
A
d
d


ni topamiz. Bu usulni bir necha marta qo’llab, 
2
1
1
)
1
(





n
n
n
A
n
d
d


yoki 
]
)
1
[(
2
1
c
c
n
d
n
n




, bunda 
2
1

A
c

, 

1
2
d
c

(
0

q
bo’lganligi uchun 
0


) ni hosil qilamiz. ■ 
7-m i s o l. 
n
-tartibli 
7
3
...
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
4
7
3
0
0
0
...
0
4
7
3
0
0
...
0
0
4
7

n
d
determinantni hisoblang. 
Yechish.
Birinchi satr bo’yicha yoyib, 
2
1
12
7




n
n
n
d
d
d
ni hosil qilamiz. Bu 
rekurrent munosabatga muvofiq keluvchi 
0
12
7
2



x
x
kvadrat tenglama 
)
(
4
,
3







ildizlarga ega. Demak, 
n
n
n
c
c
d
4
3
2
1


. 
c
1
va 
c
2
koeffisiyentlarni 
)
(
1
2
1







d
d
c
,
)
(
1
2
2








d
d
c
formulalardan topamiz. 

---

211 
,
7
,
37
7
3
4
7
1
2



d
d
bo’lganligidan 
c
1
=-3, c
2
=4 
bo’ladi. Demak, 
1
1
3
4




n
n
n
d
bo’ladi. ■ 
4.
 
Determinantni determinantlar yig’indisiga yoyish usuli 
Ba’zida 
n
-tartibli harfli determinantni ikki yoki bir nechta determinantlarning 
yig’indisi ko’rinishida ifodalash orqali oson yo’l bilan hisoblash mumkin. 
8-m i s o l. 
n
-tartibli 
a
b
a
b
a
b
a
b
a
d
0
...
0
0
0
0
...
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
0
0
0
0
...
0
0
0
0
...
0
0

determinantni hisoblang. 
Yechish.
Determinantni birinchi ustun bo’yicha yoyamiz: 
.
)
1
(
)
1
(
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
0
)
1
(
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
b
a
a
b
b
a
b
b
a
b
a
b
a
a
d

















Ikkita determinant ham uchburchak ko’rinishiga ega. ■ 

---

212 
9-m i s o l. 
n
-tartibli 
n
n
n
n
n
a
x
a
a
a
a
a
x
a
a
a
a
a
x
a
a
a
a
a
x
d





...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
determinantni 
hisoblang. 
Yechish.
Berilgan determinantni: 
n
n
n
n
a
x
a
a
a
a
a
x
a
a
a
a
a
x
a
a
a
a
a
x
d

















...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
0
...
0
0
0
...
0
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
ko’rinishda yozamiz. 
Determinantning har bir ustun elementini ikkita qo’shiluvchining yig’indisi 
ko’rinishida ifodalab, determinantning ma’lum xossasiga ko’ra
d 
ni 
n
-tartibli 2
n
ta 
determinantlar yig’indisiga yoyish mumkin. Bunda hosil bo’lgan determinantlarning 
ba’zilarida bir xil ustunlar hosil bo’ladi va bunday determinantlarlar qiymati nolga 
teng bo’lganligi sababli ularni tashlab, qolganlarini quyidagi ko’rinishda yozish 
mumkin:




n
i
i
i
i
x
a
a
x
a
x
x
x
x
d
1
...
...
0
0
...
...
...
...
...
...
0
...
...
0
0
...
...
0
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
0
...
0
0
(bunda
a
i
lar
i
-ustunda). 

---

213 
x
a
a
x
a
x
i
i
i
...
...
0
0
...
...
...
...
...
...
0
...
...
0
0
...
...
0
determinantni oxirgi ustun bo’yicha yoyib, hosil bo’lgan 
(
n
-1)–tartibli determinant yana oxirgi ustun bo’yicha yoyib va h.k. oxirgi ustuni 
a
i
larga teng bo’lgan uchburchak ko’rinishidagi 
i
-tartibli determinant hosil bo’lguncha 
qadar davom ettiramiz. Natijada
i
n
i
i
i
n
i
i
i
i
n
i
a
x
a
x
x
a
a
x
a
x
x
d
1
1
...
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0









. 
n
-tartibli 
x
x
x
x
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
0
...
0
0
0
...
0
0
x
n
ga teng bo’lganligi sababli quyidagi ifodani hosil 
qilamiz: 
)
...
(
1
1
1
1
n
n
n
i
i
n
n
a
a
x
x
a
x
x
d










.■