Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

KS 
terak yer sirti 
AS 
ga perpendikulyar bo‘lsin (6 - shakl). U 
V 
nuqtada singan va bo‘lingan 
uchi 
A 
nuqtada yerga tegadi. 
AS 
ma`lum, 
VS 
ni topish kerak. 
AVS 
to‘g‘ri burchakli uchburchak 
tashqarisiga doira chizamiz. 
AVS 
yoyning o‘rtasi 
D
nuqtadan 
AB
DE

va 
AC
DF

larni
 
o‘tkazamiz. DF- yoyning o‘rtasidan tushirilganligi uchun 
AS 
vatarni teng ikkiga bo‘ladi. U diametr 
bo‘ladi va 
AV 
diametrni doira markazi 
N 
nuqtada kesadi. Bunda 

DEN
va 

AFN 
o‘xshash 
bo‘ladi. 
DH=HA
bo‘lganidan 
DE=AF 
bo‘ladi. Aylanadagi nuqtadan diametriga tushirilgan 
perpendikulyar xossasiga asosan 
BE
DE
DE
AE

(1) 
Lekin
AC
AF
DE
2
1


va birinchi teoremaga asosan 

---

107 
AE=EV+VS, 
bundan 
2
KC
AE

. U vaqtda (1) tenglik 
BE
AF
AE
KC

2
yoki 
 
BE
AC
AC
KC
2

 
ko‘rinishni 
oladi. Bunda 
KS 
va 
AS 
berilgan, 
VE 
topiladi. 
AE=VE+VS 
tenglikdan
VS=AE-VE =
BE
KC

2
, 
ya`ni 
VS 
topiladi. 
2. Ikki qush va baliq haqidagi qadimiy masala. 
Ikki terak daraxtining balandliklari 
(VK 
va AH) ma`lum bo‘lib, kengligi 
AV 
bo‘lgan ariqning 
ikki qirg‘og‘ida o‘sgan. Suvning yuzida baliq ko‘rinadi. Bu baliqqa har ikki terak uchida turgan ikki 
qush uchib boradiyu va bir vaqtning o‘zida baliqqa yopishadilar. Baliq qo‘ringan joydan ariqning 
qirg‘oqlarigacha bo‘lgan masofalar va har ikki qushning uchgan masofalari aniqlansin. 
Faraz qilaylik, ma`lum uzunlikdagi teraklar 
AN 
va 
VK, 
ular ariq yuziga perpendikulyar 
bo‘lsin. Baliq ko‘ringan joy 
E 
nuqta bo‘lsin. 
HE, KE 
va 
AE, 
 
VE 
masofalarni topish kerak (7-shakl). 
NE 
va 
KE. 
masofalarni har ikki qush bir xil vaqtda, bir xil tezlik bilan uchib o‘tgani uchun, bu 
masofalar teng, ya`ni 
NE=KE 
bo‘ladi.
BKE

to‘g‘riburchakli bo‘lgani uchun 
2
2
2
BE
BK
KE


 
va 
AHE

to‘g‘ri burchakli bo‘lgani uchun
2
2
2
AE
AH
HE


. Demak, 
2
2
2
2
AE
AH
BE
BK



(1) 
Endi 
AD = VK, VD = AN 
va 
AV 
tomonlarga ega bo‘lgan 
AVD 
uchburchakni yasaymiz. 
DE 
ni o‘tkazib, uning 
AV 
tomonga perpendikulyar bo‘lishini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilamiz, 
AV 
ga 
DF 
perpendikulyar bo‘lsin. U vaqtda 
2
2
2
2
BF
AF
BD
AD



yoki
2
2
2
2
BF
AF
AH
BK



bo‘ladi. Ya`ni 
D
nuqtadan 
AV 
ga ikkita perpendikulyar o‘tkazilgan bo‘ladi, bu esa mumkin emas. 
Demak, 
DE AV 
ga perpendikulyar bo‘ladi, 

ADV 
ga tashqi aylana chizamiz.
DBC
AD

yoylarni ajratamiz. U vaqtda ikkinchi teoremaga 
asosan
BC
AB
BD
AD



2
2
. 
Rasmdan 
AV=VK, VD= AN 
bo‘lgani uchun 
BC
AB
BD
AD


2
2
yoki
BC
AB
AH
BK


2
2
va

 

BC
AB
BE
AE
BE
AE
AB
BE
AE






2
2
va 
AB
BE
AE


bo‘lganidan 
AE- VE =
VS
bo‘ladi. Bu keyingi ikki tenglikdan, 




BC
AB
BE
BC
AB
AE




2
1
,
2
1
. Bunda 
DB
AD
DB
DC
BC
AB




,
ma`lum,
AE 
va 
VE 
topiladi. Demak, 
2
2
2
AE
AH
HE


va 
HE
KE

ekani ham topiladi. 
Beruniy geometriyaga doir bu asarida, yuqorida bayon etilganlardan tashqari 
trigonometriyaga doir ko‘p formulalarni aniqlashdan iborat masalalarni yechadi. Chunonchi u 
ikkilangan va yarim burchakning sinusini, ikki burchak yig‘indi va ayirmalarning sinusini, hamda 
ikki burchak yig‘indisi yarmining sinusini topish qoidalarini keltiradi. Bu qoidalar mazkur 
sinuslarni ifodalovchi ayniyatlarga teng kuchlidir. 
3. «Hind roshiklari haqida kitob»ni Beruniy maxsus arifmetika masalalariga bag‘ishlaydi. 
Bunda u o‘rta asarlarda ko‘p tarqalgan uchlik qoidalarini tuzma nisbatlar yordamida asoslaydi. Bu 
qoidalarni ixtiyoriy sondagi miqdorlar uchun tatbiq etadi va umumlashgan qoidalar beradi. 
Qoidalarni misollar bilan tushuntiradi. Beruniyning bu asari arifmetikaning taraqqiyotida katta rol‘ 
o‘ynaydi. «Hind roshiklari haqida kitob»ning qo‘l yozmasi Londonda saqlanmoqda. Bu asarni 
uning foto nusxasidan rus tiliga B. A. Rozen-fel‘d tarjima qildi va 1963 yilda nashr etildi. 
4. «Turar joylar orasidagi masofalarni aniqlash uchun manzillarning chegaralarini belgilash» 
risolasini Beruniy 1025 yilda yozgan. Bu asar asosan astronomiya, matematika, geografiya va 
geodeziyaga bag‘ishlangan bo‘lib, sharqshunos P. G. Bulgakov tomonidan 1963 yilda Qohirada 
nashr etilgan. 
Beruniy bu asarida yer yuzining odamlar yashaydigan qismini iqlimlarga bo‘ladi. 
Beruniy geografik ob`ektlarning uzunligi va kengligini aniqlash usulini ishlab chiqadi
, 
Joylarning geografik koordinatalarini aniqlash masalasi haqida yunon olimlari va ulardan keyingi 
olimlar tomonidan yozilgan asarlarni Beruniy qunt bilan o‘rgandi. Bu asarlarni bir-biri bilan 

---

108 
taqqosladi. Ularning keltirgan ma`lumotlarini o‘zi olib borgan kuzatishlar va olingan natijalar bilan 
solishtirdi. Bu sohada avvalgi olimlar tomonidan yo‘l qo‘yilgan ba`zi xatoliklarni tanqid qildi. 
Beruniy butun umri bo‘yi ilmiy kuzatishlarga katta e`tibor berib, ularni sabot va aniqlik 
bilan o‘tkazar, o‘ziga va boshqalarga nisbatan talabchan olim bo‘lgan. Atoqli olim, joylarning 
kenglik va uzunliklarini aniqlashda original metodlar ishlab chiqdi. 
Beruniy shaxsan o‘zi o‘lchashlar o‘tkazib, bir qancha shaharlarning geografik kengliklarini 
hisobladi. Masalan, G‘aznaning kengligi 33°35', Qobulniki 33°47'; Qandaniki 33°55'; Dunpurniki 
34°20'. Uning hisoblashlariga ko‘ra Buxoro shahrining kengligi 39°20' deb topilgan. Hozirgi vaqtda 
esa bu qiymat 39°46' hisoblanadi. Demak, bunda Beruniy hisoblashlari faqat 0°26' farq qiladi. 
Beruniy tomonidan olib borilgan astronomik va geodezik hisoblashlarning aniqligi, uning bu 
sohadagi tekshirish usullari juda puxta ekanligini ko‘rsatadi. Bu esa O‘rta asrlarda bu fanlar 
sohasida yerishilgan eng katta yutuqlardan hisoblanadi. 
Olimlar tomonidan olib borilgan keyingi tekshirishlarda, Beruniy asarlarida O‘rta Osiyoning 
bir necha shaharlarining geografiyasi va geologiyasi, masalan, qadimiy Xorazm geologiyasi bayon 
etilganligini, Amudaryo oqimining
 
o‘zgarishini tushuntirish, Xo‘jand, Termez va boshqa 
shaharlarning geografik sharoitlari haqida O‘rta asrlar faniga doir qimmatli ma`lumotlar borligi 
aniqlandi. 
5. «Sferik sirtning tekislikdagi proektsiyasi» nomli risola olimning «Qadimgi xalqlardan 
qolgan yodgorliklar» asarining bir bo‘limi sifatida bayon etilgan. Bu asar kartografik proektsiya 
masalalariga bag‘ishlangan. Bunda yulduzlar osmonini tekislikda tasvirlash, yer sirtini xaritalarda 
tasvirlash va astrolyabiya yasashda qo‘llanadigan sferani tekislikka proektsiyalash masalalari 
bayon etilgan. Beruniy tomonida» tatbiq etilgan uch holdan birinchi holdagi proektsiyalash — 
stereografik proektsiyadan iborat bo‘lib, bunday proektsiya yunon olimlari Gipparx (eramizdan 
oldingi II asr) va Ptolemey (II asr) tomonidan qo‘llanilgan. 
Ikkinchi holdagi proektsiyalash usulini esa Beruniyning o‘zi ishlab chiqqan. Uchinchi 
holdagi proektsiyalash usuli Beruniy zamondoshi as-Sag‘oni, tomonida» ishlab chiqilgan bo‘lib, 
Beruniy bu metodni astrolyabiya konstruktsiyasini yasashda qo‘llanadi. 
Bulardan tashqari bu asarda Beruniy, proektsiyalashning yangi bir turini ham bayon etganki, 
bu yarim sferaning tekislikdagi tasvirini yasashda juda qulay usul hisoblanadi. 
6. «Qimmatbaho toshlar haqida ma`lumotlar to‘plami» kitobi minerallar va metallarni 
o‘rganishga bag‘ishlangan. Bu asarni Beruniy 1048 yilda yozib tamomlagan. Uzoq vaqtlargacha bu 
asar faqat bir necha qo‘l yozma shaklida ma`lum edi. Uning