Bab 15 model regresi kualitatif (regressand bersifat kualitatif)

15.9.
 
Model Probit 
Model estimasi yang muncul dari CDF normal sangat populer dikenal sebagai 
model 
probit
, kadang juga dikenal sebagai 
model normit
. Pada prinsipnya sesuatu dapat 
menggantikan CDF normal pada CDF logistik di (15.5.2) dan melanjutkan seperti pada 
Bagian 16.5. Alih-alih mengikuti proses ini, kami akan menyajikan model probit berdasarkan 
teori utilitas, atau perspektif pilihan rasional tentang perilaku, seperti yang dikembangkan 
oleh McFadden. 
Untuk mengerti model probit, asumsikan bahwa dalam contoh kepemilikan rumah 
kami keputusan keluarga ke-i untuk memiliki rumah atau tidak tergantung pada indeks 
utilitas 
𝐼
𝑖
yang tidak dapat diobservasi (juga dikenal sebagai variabel laten), yang ditentukan 
oleh satu atau lebih variabel penjelas, seperti pendapatan Xi, sedemikian rupa bahwa semakin 
besar nilai indeks Ii, semakin besar probabilitas keluarga memiliki rumah. Kami menyatakan 
indeks 
𝐼
𝑖
sebagai 
𝐼
𝑖
= 𝛽
1
+ 𝛽
2
𝑋
𝑖
(15.9.1)
dimana 
𝑋
𝑖
merupakan pendapatan dari keluarga ke-i 
Seperti sebelumnya, misalkan Y = 1 jika keluarga memiliki rumah dan Y = 0 jika 
tidak. Sekarang ini masuk akal untuk diasumsikan bahwa terdapat 
kritikal
atau 
level 
threshold
dari index, sebut saja 
𝐼
𝑖
∗
, apabila 
𝐼
𝑖
melebihi 
𝐼
𝑖
∗
, keluarga akan memiliki rumah, 
dan sebaliknya. 
Threshold 
𝐼
𝑖
∗
, seperti 
𝐼
𝑖
, tidak dapat diobservasi, tapi jika kita asumsikan berdistribusi 
normal dengan mean dan variansi sama, ini mungkin tidak hanya untuk mengestimasi 
parameter dari index yang diberikan pada (15.9.1) tetapi juga dapat memberikan beberapa 
informasi tentang index yang tidak dapat diobservasi sendiri. 
Diberikan asumsi normalitas, probabilitas dari 
𝐼
𝑖
∗
kurang dari atau sama dengan 
𝐼
𝑖
dapat dihitung dari standarisasi CDF normal : 
𝑃
𝑖
= 𝑃(𝑌 = 1|𝑋) = 𝑃(𝐼
𝑖
∗
≤ 𝐼
𝑖
) = 𝑃(𝑍
𝑖
≤ 𝛽
1
+ 𝛽
2
𝑋
𝑖
) = 𝐹(𝛽
1
+ 𝛽
2
𝑋
𝑖
) (15.9.2)

---

dimana 
𝑃(𝑌 = 1|𝑋)
berarti probabilitas bahwa suatu peristiwa terjadi memberikan nilai 
variabel X, dan dimana 
𝑍
𝑖
merupakan variabel standard normal. F merupakan CDF normal 
standard, yang ditulis secara eksplisit sebagai berikut :
𝐹(𝐼
𝑖
) =
1
√2𝜋
∫ 𝑒
−𝑧
2
/2
𝐼
𝑖
−∞
𝑑𝑧 (15.9.3)
=
1
√2𝜋
∫
𝑒
−𝑧
2
/2
𝛽
1
+𝛽
2
𝑋
𝑖
−∞
𝑑𝑧
Probabilitas dari memiliki rumah dihitung oleh area kurva normal standard dari 
−∞
ke 
𝐼
𝑖
seperti pada gambar 15.4a. 
Untuk memperoleh informasi dari 
𝐼
𝑖
, serta pada 
𝛽
1
dan 
𝛽
2
, menggunakan invers dari 
(15.9.2) 
𝐼
𝑖
= 𝐹
−1
(𝐼
𝑖
) = 𝐹
−1
(𝑃
𝑖
) (15.9.4)
= 𝛽
1
+ 𝛽
2
𝑋
𝑖
dimana 
𝐹
−1
merupakan invers dari CDF normal. 
Pada gambar 15.4 a didapat dari ordinat probabilitas (kumulatif) memiliki rumah yang 
diberikan 
𝐼
𝑖
∗
≤ 𝐼
𝑖
, sedangkan pada gambar b didapat dari absis nilai 
𝐼
𝑖
diberikan nilai 
𝑃
𝑖
, yang 
merupakan kebalikan dari yang pertama.