где
𝑥
𝑗
∗∗
— новые значения базисных переменных, вызванные превращени-
ем бывшей свободной переменной
𝑥
𝑘
в отрицательное число.
Перенесем неизвестное
𝑥
𝑘
, обозначающее недоиспользованный остаток
k
-
го ресурса (правда, в данном случае оно отрицательно), в правую часть. Полу-
чим запись:
∑
𝑎
𝑘𝑗
𝑥
𝑗
∗∗
𝑛
𝑗=1
= 𝑏
𝑘
+ 𝑥
𝑘
,
которая
означает, что соответствующие новые значения базисных перемен-
ных
𝑥
𝑗
∗∗
возможны лишь при увеличении первоначального количества
k
-го ресурса
в размере
𝑏
𝑘
на некоторую положительную величину
𝑥
𝑘
. Иными словами, отрица-
тельное недоиспользование ресурса (
𝑥
𝑘
) возможно интерпретировать как до-
полнительное количество
k
-го ресурса, требуемое для достижения новых значений
базисных переменных, в том числе и того из них, которое уменьшится до нуля.
В нашем примере коэффициент замены торфа на неиспользованный оста-
ток фонда оборотных средств отрицателен и равен –2,5. В соответствии с (4.11):
𝑥
3
= 110 тыс. т торфа : (–2,5) т торфа/руб. = –44 тыс. руб.
Перерасход фонда оборотных средств (его прирост сверх лимита в 20
тыс. руб.) на 44 тыс. руб. уменьшит добычу торфа до нуля. Весь план производ-
ства, в соответствии с (4.9), изменится в этом случае так:
∆𝑋
∗
= − [
−2,5
5
2,25 −0,5
0,5
−5
] × [
−44
0
] = [
110
99
22
]
.
Таким образом, уменьшение добычи торфа до нуля, на 110 тыс. т, сопро-
вождается ростом добычи угля на 99 тыс. т и увеличением неиспользованного
остатка ресурсов электроэнергии на 22 тыс. кВт ч. В этом случае уменьшение
добычи торфа происходит не вследствие сокращения ресурса, а вследствие его
роста. Дополнительное увеличение фонда оборотных средств позволяет переве-
сти всю добычу топлива на шахты, полностью отказавшись от добычи низкока-
лорийного торфа. Ранее такой план был невозможен ввиду малых размеров
фонда оборотных средств.
Так как изменение одной свободной переменной
𝑥
𝑘
с нуля до ненулевой
величины вызовет одновременное изменение базисных переменных
𝑥
𝑗
∗
, то воз-
можно отыскать наименьший размер
такого изменения переменной
𝑥
𝑘
, доста-
точный для уменьшения до нуля лишь одной базисной переменной
𝑥
𝑗
∗
. Введем
следующие обозначения:
𝐽
∗
— множество индексов базисных переменных;
𝐽
𝑘1
∗
— множество
индексов базисных переменных, для которых
ℎ
𝐽𝑘
(
𝐽
𝑘1
∗
J
);
𝐽
𝑘2
∗
— множество индексов базисных переменных, для которых
ℎ
𝐽𝑘
(
𝐽
𝑘2
∗
J
), (
𝐽
𝑘2
∗
𝐽
𝑘1
∗
);
𝐽
𝑘3
∗
— индексов базисных переменных, для которых
ℎ
𝐽𝑘
=
(
𝐽
𝑘3
∗
J
),
(
𝐽
𝑘3
∗
𝐽
𝑘1
∗
), (
𝐽
𝑘3
∗
𝐽
𝑘2
∗
).
Тогда наименьшее достаточное ненулевое значение бывшего нулевого
𝑥
𝑘
определится следующим образом (см. соотношение (4.11)).
63
1. Для
ℎ
𝐽𝑘
𝑥
𝑘
= min
𝑗∈𝐽
𝑘1
∗
{
𝑥
𝑗
∗
ℎ
𝑗𝑘
} > 0
.
Здесь минимальная из положительных дробей
покажет наименьшее зна-
чение
𝑥
𝑘
, необходимое для уменьшения до нуля самой «чувствительной» ба-
зисной переменной из всей группы аналогично реагирующих
𝑥
𝑗
∗
. Вследствие
наличия минуса в выражении (4.10) положительная величина коэффициента
ℎ
𝐽𝑘
указывает на обратную зависимость изменения величин
𝑥
𝑘
и
𝑥
𝑗
∗
. При увеличе-
нии
𝑥
𝑘
все
𝑥
𝑗
∗
из группы
j
𝐽
𝑘1
∗
уменьшаются. Чем больше
ℎ
𝐽𝑘
, тем скорость та-
кого уменьшения выше.
2. Для
ℎ
𝐽𝑘
𝑥
𝑘
= min
𝑗∈𝐽
𝑘2
∗
{
𝑥
𝑗
∗
ℎ
𝑗𝑘
} < 0
.
Как отмечено выше,
трактовка отрицательных
𝑥
𝑘
возможна лишь для
остатков ресурсов (т.е. для дополнительной переменной группы
𝑥
𝑛+𝑖
). Здесь
отрицательные значения
ℎ
𝑗𝑘
свидетельствуют о прямой зависимости изменений
величин
𝑥
𝑘
и
𝑥
𝑗
∗
. Они уменьшаются или растут одновременно.
3.
Когда
ℎ
𝐽𝑘
=
, изменение
𝑥
𝑘
не ведет к изменению соответствующих
𝑥
𝑗
∗
. Поэтому каких-либо расчетов здесь не требуется.
Выше мы проследили связь между двойственными оценками ресурсов и
значением критерия оптимальности. Остановимся на этом еще раз. Итак, коэф-
фициенты первой строки последней симплекс-таблицы (см. рис. 4.1,
в
) показы-
вают размер изменения критерия оптимальности (суммарной добычи условного
топлива) от изменения в плане соответствующей переменной на единицу. В
частности,
у
3
= 0,65 показывает, что один неиспользованный
человеко-час
уменьшит суммарную добычу условного топлива на 0,65 т. Равным образом та-
кое уменьшение суммарной добычи произойдет и при сокращении величины
выделенных трудовых ресурсов на один человеко-час. Наоборот, дополнитель-
ное выделение одного человеко-часа увеличит суммарную добычу условного
топлива в таких же размерах, т.е. на 0,65 т.
Итак, коэффициенты первой строки, соответствующие ресурсам, показы-
вают, на сколько изменится значение критерия оптимальности при изменении
величины
данного ресурса на единицу, и являются двойственными оценками
ресурсов. Прежде чем перейти к рассмотрению свойств двойственных оценок,
отметим, что при помощи указанных выше формул (4.3) — (4.11) возможно
проводить анализ не только оптимального плана, но и всех промежуточных, т.е.
допустимых.
Do'stlaringiz bilan baham: 
