2)
cos
a
1
kardiodaning uzunligi topilsin. Kardioida qutb o‘qiga nisbatan
simmetrikdir.
qutb burchagini 0 dan
gacha o‘zgartirib, izlanayotgan
uzunlikning yarmini topamiz (5-rasm). (11)
formuladan foydalanamiz, bunda
a
a
sin
a
cos
a
d
cos
a
d
sin
a
cos
a
S
sin
a
8
1
8
2
8
2
4
2
2
2
1
2
0
0
0
2
2
2
2
3)
2
1
0
,
t
sin
b
y
,
t
cos
a
x
ellipsning uzunligi hisoblansin, bunda
b
a
.
Yechish.
(4) formuladan foydalanamiz. Avval yoy uzunligining 1/4 qismini
hisoblaymiz.
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
1
1
1
t
d
t
cos
k
a
t
d
t
cos
a
b
a
a
t
d
t
cos
b
a
a
t
d
t
cos
b
t
cos
a
t
d
t
cos
b
t
sin
a
4
S
bunda
1
2
2
a
b
a
k
.
Demak,
t
d
t
k
-
1
a
4
S
2
0
2
2
cos
.
IV.
Biror
T
jism berilgan bo‘lsin. Bu jismni
OX
o‘qqa perpendikulyar
tekislik bilan kesishdan hosil bo‘lgan har qanday kesimning yuzi ma’lum deb faraz
qilamiz. Bu holda yuza kesuvchi tekislikning vaziyatiga bog‘liq, ya’ni
x
ning
funksiyasi bo‘ladi:
Q
(
x
) ni uzluksiz
funksiya deb faraz qilib, berilgan jism hajmini aniqlaymiz.
T
i
x
Q
x
a
b
7-rasm
b
x
x
x
x
x
x
a
x
x
n
0
...,
,
,
,
2
1
tekisliklarni o‘tkazamiz. Har bir
i
i
x
x
x
1
qismiy
oraliqda ixtiyoriy
i
nuqta tanlab olamiz va
i
ning har bir qiymati uchun yasovchisi
x
lar o‘qiga parallel bo‘lib, yo‘naltiruvchisi
T
jismni
i
x
tekislik bilan kesishdan
hosil bo‘lgan kesimning konturidan iborat bo‘lgan silindrik jism yasaymiz.
Asosining yuzi
i
Q
va balandligi
i
x
bo‘lgan bunday
elementar silindrning
hajmi
i
i
x
Q
ga teng. Hamma silindrlarning hajmi
n
i
i
i
n
x
Q
v
1
bo‘ladi.
Bu yig‘indining
0
max
i
x
dagi limiti berilgan
jismning hajmi
deyiladi:
n
i
i
i
x
n
x
Q
v
i
1
0
max
lim
n
v
miqdor [
a, b
] kesmada uzluksiz
Q
(
x
) funksiyaning integral yig‘indisidir, shuning
uchun limit mavjud va u
x
d
x
Q
v
b
a
(12)
aniq integral bilan ifodalanadi.
Misol.
1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
ellipsoidning hajmi hisoblansin.
Yechish.
Ellipsoidni
OYZ
tekislikka parallel bo‘lib
undan
x
masofa
uzoqlikdan o‘tgan tekislik bilan kesganda yarim o‘qlari
2
2
1
2
2
1
1
;
1
a
x
b
c
a
x
b
b
bo‘lgan
1
1
1
2
2
2
2
2
2
a
x
c
z
a
x
b
y
2
2
ellips hosil bo‘ladi.
Bu ellipsning yuzi:
2
2
1
1
1
a
x
c
b
c
b
x
Q
Ellipsoidning hajmi:
.
3
4
3
1
2
3
2
2
birl
kub
c
b
a
a
x
x
c
b
x
d
a
x
c
b
v
a
a
a
a
V.
x
f
y
egri chiziq,
OX
o‘q va
x=a, x=b
to‘g‘ri chiziqlar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning OX o‘qi atrofida aylanishidan hosil
bo‘lgan jismni qaraylik. Bu jismni abssissalar o‘qiga perpendikulyar tekislik bilan
kesishdan hosil bo‘lgan ixtiyoriy kesim doira bo‘ladi. Uning yuzi
2
2
x
f
y
Q
.
Hajmni hisoblash (12)
umumiy formulasini tadbiq etib, aylanma jismning
hajmini hisoblash formulasini hosil qilamiz:
x
d
x
f
x
d
y
v
b
a
b
a
2
2
(13)
Misol.
1
2
2
2
2
b
y
a
x
ellipsni
OX
va
OY
o‘qlari atrofida aylantirish natijasida hosil
qilingan jismlarning hajmlarini hisoblang.
Yechish.
Ellips tenglamasidan:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
y
b
b
a
x
x
a
a
b
y
Ellipsni
OX
o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning hajmi:
.)
(
3
4
3
4
3
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
0
3
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
1
birl
kub
b
a
V
b
a
a
a
a
b
x
x
a
a
b
x
d
x
a
a
b
x
d
y
V
V
a
a
a
Ellipsni
OY
o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning hajmi:
.)
(
3
4
3
4
3
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
0
3
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
1
birl
kub
b
a
V
b
a
b
b
b
a
y
y
b
b
a
y
d
y
b
b
a
y
d
x
V
V
b
b
b
VI.
Biror
F
kuch ta’siri ostida
M
moddiy nuqta
OS
to‘g‘ri chiziq bo‘yicha
harakat qilsin, bunda kuchning yo‘nalishi harakat yo‘nalishi bilan bir xil bo‘lsin.
M
nuqta
S=a
holatdan
S=b
holatga ko‘chganda
F
kuchning bajargan ishi topilsin.
1) Agar
F
kuch o‘zgarmas bo‘lsa, u holda
A
ish
F
kuch bilan o‘tilgan yo‘l
uzunligi ko‘paytmasi bilan ifodalanadi:
2)
F
kuch moddiy nuqtaning olgan o‘rniga qarab uzluksiz o‘zgaradi, ya’ni [
a, b
]
kesmada
F
(
S
)
uzluksiz funksiyani ifodalaydi, deb faraz qilamiz. [
a, b
] kesmani
uzunliklari
bo‘lgan
n
ta ixtiyoriy bo‘lakka bo‘lamiz. Har bir
qismiy kesmada ixtiyoriy
nuqta tanlab olib,
F
(
S
) kuchning
yo‘lda
bajargan
ishini
ko‘paytma bilan almashtiramiz. Oxirgi ifoda
yetarlicha kichik bo‘lganda
F
kuchning
yo‘lda bajargan ishining taqribiy
qiymatini beradi.
yig‘indi
F
kuchning [
a, b
] kesmada bajargan ishining taqribiy ifodasi bo‘ladi. Bu
yig‘indining
dagi limiti
F
(
S
) kuchning
S=a
nuqtadan
S=b
nuqtagacha
bo‘lgan yo‘lda bajargan ishini ifodalaydi:
(14)
Misol.
Agar prujina 1
H
kuch ostida 1
sm
cho‘zilishi ma’lum bo‘lsa, uni 4
sm
cho‘zish uchun qancha ish bajarish kerak?
Do'stlaringiz bilan baham: 
