7-mavzu: Aniq intеgralning ta'rifi va uning xossalari. Reja : Aniq intеgralga kеltiruvchi masalalar. Nyuton-Lеybnits formulasi

Yechish.
Guk qonuniga ko‘ra prujinani
x m
ga cho‘zuvchi kuch 
F=kx
; 
Agar 
x=
0,01
m
va 
F=
1
H
ekanligini hisobga olsak, u holda 
kelib 
chiqadi. 
Demak, 
F=
100
x
. Bajarilgan ish ekanligini hisobga olsak 
VII.
XOY
tekisligida 
massalari 
bo‘lgan 
moddiy nuqtalar sistemasi berilgan bo‘lsin. 
Mexanikadan ma’lumki, moddiy nuqtalar sistemasining 
O
nuqtaga nisbatan 
inersiya momenti: 
(15) 
 
a
-
b
F
A

n
S
S
S



...,
,
,
2
1
i
i
S
S
,
1

i

i
S

 
i
S
i
F


i
S

i
S

 
i
i
n
i
n
S
F
A
A






1
0
max


i
S
 
S
d
S
F
A
b
a


100
01
,
0
1



x
F
k
 
j
x
x
d
x
A
08
,
0
50
100
0 4
,
0
0
2
0 4
,
0
0




n
m
m
m
,...,
,
2
1

 



n
n
y
x
P
y
x
P
y
x
P
,
...,
,
,
,
,
1
2
2
1
1
1
1









n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
r
m
y
x
J
1
2
1
2
2
0

---

bunda 
. 
Faraz qilamiz, egri chiziq moddiy chiziqdan iborat bo‘lib, u 
tenglama 
bilan berilgan bo‘lsin va [
a, b
] kesmada
f 
(
x
) uzluksiz funksiya bo‘lsin. Egri 
chiziqning chiziqli zichligi
ga teng bo‘lsin. Bu chiziqni uzunliklari 
bo‘lgan 
n
ta bo‘laklarga bo‘lamiz, bunda 
, 
ularning massalari 
bo‘lsin. Yoyning har bir 
qismida abssissasi 
va ordinatasi
bo‘lgan nuqtalar olamiz. Yoyning 0 
nuqtaga nisbatan inersiya momenti: 
(16) 
Agar 
funksiya va uning hosilasi 
uzluksiz bo‘lsa, u holda 
da 
(16) yig‘indi limitga ega va bu limit moddiy chiziqning inersiya momentini 
ifodalaydi: 
(17) 
1. 
Uzunligi l bo‘lgan ingichka bir jinsli tayoqchaning (sterjenning) oxirgi uchiga 
nisbatan inersiya momenti. 
Tayoqchani 
OX
o‘q kesmasi bilan ustma-ust joylashtiramiz
Bu holda 
(17) formula quyidagi ko‘rinishni oladi: 
(18) 
Agar tayoqchani massasi 
M
berilgan bo‘lsa, u holda 
va (18) formula 
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 
(19) 
2
2
i
i
i
y
x
r


 
x
f
y


n
S
S
S



...,
,
,
2
1
2
2
i
i
i
y
x
S





n
n
S
m
S
m
S
m












...,
,
,
2
2
1
1
i

 
i
i
f





i
n
i
i
i
S
J








1
2
2
0
 
x
f
y

 
x
f

0


i
x
 


 
x
d
x
f
x
f
x
J
b
a
2
2
2
0
1






l
x


0
2
2
,
,
i
i
i
i
i
i
x
r
x
m
x
S








3
3
1
0
2
0
l
x
d
x
J
c





l
M


2
0
3
1
l
M
J
c

0
xx
8-rasm 
x


---

2. 
Radiusi r bo‘lgan aylananing markaziga nisbatan inersiya momenti. 
Aylananing barcha nuqtalari uning markazidan bir xil masofada bo‘lgan va 
massasi 
bo‘lgani uchun, aylananing inersiya momenti quyidagicha 
bo‘ladi: 
(20) 
3. 
Radiusi R bo‘lgan bir jinsli doiraning markaziga nisbatan inersiya momenti. 
Doirani 
n
ta halqalarga ajratamiz. 
S
– doira yuzi birligining massasi bo‘lsin. 
Bitta halqani olib qaraymiz. 
Bu halqaning ichki radiusi 
, tashqi radiusi 
bo‘lsin. Bu halqaning 
massasi 
ga teng bo‘ladi. Bu massaning markazga nisbatan inersiya 
momenti (17) formulaga muvofiq taqriban quyidagiga teng bo‘ladi: 
Butun doiraning inersiya momenti: 
da limitga o‘tib, doira yuzining markazga nisbatan inersiya 
momentini hosil qilamiz: 
(21) 
Agar doiraning massasi
M 
berilgan bo‘lsa, u holda sirt zichligi
quyidagiga teng bo‘ladi: 
; bu qiymatni (18) ga qo‘ysak: 


r
m
2





3
2
2
0
2
2
r
r
r
r
m
J



i
r
i
i
r
r


i
i
i
r
r
m





2


i
i
i
i
i
i
r
r
r
r
r
J





3
2
0
2
2








n
i
i
i
r
r
J
1
3
0
2


0


i
r
2
2
4
3
0
R
r
d
r
J







2
R
M



y 
 
 
 
0
R x 
 
 
 
9-rasm 
 
 
r

i
r

---

(22) 
Tayanch iboralar. 
Aniq integralning geometrik tadbiqlari
— qutb va Dekart koordinatalar 
sistemasida yuzalarni, egri chiziq yoyining uzunligini hisoblash, jism hajmini 
parallel kesimlarning yuzalari bo‘yicha hisoblash, aylanma jismning hajmini 
hisoblash. 
Aniq integralning mexanikaga tadbiqi — 
bajarilgan ishni hisoblash, inersiya 
momentini hisoblash. 
Nazorat savollari
. 
1.
Figuralar yuzlarini Dekart koordinatalar sistemasida hisoblash. 
2.
Figuralar yuzlarini qutb koordinatalarida hisoblash. 
3.
Egri chiziq yoyining uzunligi. 
4.
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi. 
5.
Jism hajmini parallel kesimlarning yuzalari bo‘yicha hisoblash. 
6.
Aylanma jismning hajmi. 
7.
Aniq integralni mexanikaga tadbiqi.
8.
Inersiya momentini aniq integral yordami bilan hisoblash. 
2
2
0
R
M
J
