|
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar
1.
Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan yuzalar hisoblansin:
1 𝑦
4
𝑥
va
𝑦
0
;
2 𝑦
3
2𝑥
𝑥
va
𝑦
0
;
3 𝑥𝑦
4, 𝑥
1, 𝑥
4, 𝑦
0
;
4 𝑦
𝑥 , 𝑦
8, 𝑥
0
;
5 𝑥
𝑎 𝑡
𝑠𝑖𝑛𝑡 , 𝑦
𝑎 1
𝑐𝑜𝑠𝑡
sikloidaning bir davri (arkasi) va
𝑜𝑥
o’qi;
6 𝑥
𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑦
𝑎𝑠𝑖𝑛 𝑡
astroida;
7 4𝑦
𝑥
va
𝑦
4𝑥
;
8 𝑥𝑦
6
va
𝑥
𝑦
7
0.
Javoblar:
1)
;
2) ; 3)
8𝑙𝑛2
; 4)
19,2
;
5)
3𝜋𝑎
; 6)
; 7) ; 8)
17,5
6𝑙𝑛6.
2.
𝑦
𝑥
yarim kubik parabolaning
0; 0
va
4; 8
nuqtalar bilan
chegaralangan qismining uzunligi topilsin.
Javob:
10√10 1 .
3.
𝑦
𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥
egri chiziqni absissalari
𝑥
0
va
𝑥
bo’lgan nuqtalar
bilan chegaralangan qismining uzunligi topilsin.
Javob:
ln 𝑡𝑔 .
4.
𝑥
𝑦
ln 𝑦
egri chiziqning ordinatalari
𝑦
1
va
𝑦
2
bo’lgan
nuqtalar bilan chegaralangan qismining uzunligi topilsin.
Javob:
ln 2
.
5.
𝑥
𝑦
𝑎
astroida yoyining uzunligi topilsin.
Javob:
6𝑎.
6.
𝑦
2𝑥
va
𝑥
𝑦
20
chiziqlardan hosil qilingan chiziqning
uzunligi topilsin
Javob :
10√10 1
4√5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2
.
7.
𝑥
𝑎 𝑡
𝑠𝑖𝑛𝑡 , 𝑦
𝑎 1
𝑐𝑜𝑠𝑡
sikloidaning bitta arkasi
uzunligini toping.
Javob:
8𝑎
.
8.
𝑥
𝑦
𝑎
astroidaning
𝑜𝑥
o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan
jism sirtining yuzi topilsin.
Javob:
𝜋𝑎 .
9.
𝑦
egri chiziqning
𝑦
to’g’ri chiziq bilan kesishgan qismning
𝑜𝑦
o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jism sirtining yuzi topilsin.
Javob:
.
10. Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning aylanishidan
hosil bo’lgan jismlarning hajmlari topilsin.
1 𝑥𝑦
4, 𝑥
1, 𝑥
4, 𝑦
0, 𝑜𝑥
o’q atrofida;
2 𝑦
4
𝑥, 𝑦
0, 𝑜𝑦
o’q atrofida;
3 𝑦
cos 𝑥
, 𝑥
0, 𝑦
0 𝑥
0 , 𝑜𝑥
o’qi atrofida;
4 𝑥
𝑦
4, 𝑦
2, 𝑜𝑦
o’qi atrofida;
5 𝑦
𝑥 , 𝑥
0, 𝑦
8, 𝑜𝑦
o’qi atrofida;
6 𝑦
, 𝑥
1, 𝑦
0, 𝑜𝑥
o’qi atrofida.
Javob:
1 12𝜋; 2
; 3
√
; 4
; 5 19,2𝜋; 6
.
ANIQ INTEGRALNI TAQRIBIY HISOBLASH
FORMULALARI
I. Xos bo’lmagan integrallar ikki xil bo‘ladi:
1-tur xos bo’lmagan integrallar chegaralari cheksiz bo‘lgan integrallardir.
(1)
Bu tenglikda o‘ng tomonda turgan limit mavjud bo‘lsa, u holda xos bo’lmagan
integral
yaqinlashuvchi integrallar deyiladi.
Agar ko‘rsatilgan limit cheksizga teng bo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa xosmas
integral uzoqlashuvchi deyiladi.
xosmas integrallar ham shunday aniqlanadi.
2-tur xosmas integrallar.
Agar
funksiya
kesmaning
x=a
nuqtasida,
x=b
nuqtasida yoki
ga tegishli biror
x=c
nuqta atrofida aniqlanmagan bo‘lsa, bunday funksiyadan
olingan integrallar 2-tur xosmas integrali deyiladi.
funksiya
oraliqda aniqlangan va uzliksiz bo‘lib,
x=b
nuqta
atrofida chegaralanmagan funksiya bo‘lsa, u holda
E
b
a
E
dx
x
f
)
(
lim
0
limitga
funktsiyaning 2-tur xosmas integrali deyiladi va
tenglik bilan
aniqlanadi. Agar o‘ng tomonda turgan limit mavjud bo‘lsa, xosmas integral
a
b
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
a
dx
x
f
)
(
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
,
)
(
)
(
x
f
y
b
a
;
b
a
;
)
(
x
f
y
b
a
;
)
(
x
f
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
0
yaqinlashuvchi deyiladi. Agar limit mavjud bo‘lmasa, xosmas integral uzoqlashuvchi
deyiladi.
Boshqa 2-tur integrallar ham xuddi shunday aniqlanadi.
II. Aniq integrallarni taqribiy hisoblash.
aniq integralda
funksiya uchun boshlang‘ich funktsiyani har doim ham topib bo‘lmaydi, bunday
holda aniq integralni taqribiy hisoblash formulalaridan foydalaniladi.
1. To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi:
2. Trapetsiya formulasi:
3. Simpson formulasi:
(
n
=juft son)
Misollar ko‘ramiz:
Xosmas integrallarni aniqlang:
32.1.
xosmas integrallarni taqribiy hisoblang va yaqinlashishini
tekshiring:
demak xosmas integral
uzoqlashuvi.
32.2.
xosmas integralni hisoblang va yaqinlashishni tekshiring:
xosmas
integral yaqinlashuvchi.
32.3.
funksiya
x=0
nuqtada chegaralanmagan.
b
a
dx
x
f
I
)
(
)
(
x
f
y
)
4
2
...
4
2
4
(
3
)
(
1
2
3
2
1
0
n
n
n
b
a
y
y
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
0
cos
xdx
I
b
b
b
b
b
b
b
b
x
xdx
I
0
sin
lim
)
0
sin
(sin
lim
0
sin
lim
cos
lim
0
2
1
x
dx
I
b
b
b
b
b
arctgb
arctg
arctgb
b
arctgx
x
dx
I
0
2
2
lim
)
0
(
lim
0
lim
1
lim
1
0
1
)
(
;
x
x
f
x
dx
)
...
2
(
)
(
1
2
1
n
0
n
b
a
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
1
0
1
1
0
)
...
(
n
i
i
n
y
h
y
y
y
h
b
a
dx
x
f
)
(
. Bu limit mavjud emas.
Berilgan xosmas integral uzoqlashuvchi.
32.4.
xosmas integralni hisoblang va yaqinlashishini tekshiring:
funksiya
x=1
nuqtada uzulishga ega
𝑑𝑥
√1
𝑥
lim
→
𝑑𝑥
√1
𝑥
lim
→
arcsin 𝑥 1
𝜀
0
lim
→
arcsin 1
𝜀
arcsin 0
𝜋
2
32.5.
xosmas integralni yaqinlashishga tekshiring.
x=1
nuqtada
uzilishga
ega,
shuning
uchun
Integral uzoqlashuvchi, demak berilgan xosmas integral ham uzoqlashuvchi.
32.6.
integralni taqribiy (trapetsiyalar formulasi yordamida)
hisoblang (
n=6
).
oraliqni 6 teng qismga bo’lamiz:
x
i
0
1
2
3
4
5
6
y
i
3
4
7
12
19
28
39
trapetsiyalar formulasi asosida:
𝐼
ℎ
𝑦
𝑦
2
𝑦
3
39
2
4
7
12
19
28
21
70
91
1
0
0
0
1
0
0
0
`
ln
lim
)
ln
1
(ln
lim
1
ln
lim
lim
a
a
a
x
x
dx
x
dx
a
a
a
a
1
0
2
1
x
dx
2
1
1
)
(
x
x
f
2
0
2
3
4
x
x
dx
I
3
4
1
)
(
2
x
x
x
f
2
0
1
0
2
1
2
2
2
;
3
4
3
4
3
4
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
I
1
0
0
0
1
0
0
2
0
2
2
ln
lim
2
1
)
3
ln
2
(ln
lim
2
1
0
1
1
3
ln
2
1
lim
1
)
2
(
lim
3
4
x
x
x
dx
x
x
dx
6
0
2
)
3
(
dx
x
I
6
;
0
1
6
0
6
n
a
b
h
32.7.Simpson formulasi yordamida
integralni taqribiy hisoblang va aniq
qiymati bilan taqqoslang:
N’yuton-Leybnits formulasiga asosan
Simpson formulasini qo‘llash uchun
oraliqni 10 teng qismga bo‘lamiz:
x
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
i
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729 1000
2k=10, demak k=5
Quyidagi xosmas integralni hisoblang va ularni yaqinlashuvchi yoki
uzoqlashuvchiligini aniqlang:
32.8.
32.9.
32.10.
32.11.
32.12.
32.13.
32.14.
32.15.
32.16.
32.17.
32.18.
32.19.
32.20.
32.21. Trapetsiyalar formulasi yordamida hisoblang:
32.22. Simpson formulasi yordamida hisoblang:
10
0
3
dx
x
I
2500
4
10
0
10
4
4
4
10
0
3
x
dx
x
I
10
;
0
2500
1000
)
512
216
64
8
(
2
)
729
343
125
27
1
(
4
0
3
10
0
10
10
0
3
dx
x
I
1
x
dx
0
2
dx
xe
x
1
2
2
1
x
x
dx
0
2
2
dx
e
x
x
6
2
3
2
)
4
(
x
dx
1
2
x
arctgxdx
2
0
2
)
1
(
x
dx
1
2
sin
x
xdx
1
2
3
dx
e
x
x
e
x
x
dx
1
ln
2
1
x
xdx
3
1
2
3
4
x
x
dx
)
4
)(
1
(
2
2
x
x
dx
2
1
2
ln
x
dx
2
1
3
)
4
2
(
1
n
dx
x
32.23. Simpson formulasi yordamida hisoblang:
32.24. Simpson formulasi yordamida
ni taqribiy hisoblang.
Quyidagi xosmas integrallarni hisoblang va yaqinlashishini tekshiring:
32.25.
32.26.
32.27.
32.28.
32.29.
32.30.
32.31.
32.32.
32.33.
Simpson formulasi yordamida taqribiy hisoblang:
32.34.
32.35.
32.36.
Trapetsiyalar formulasi yordamida taqribiy hisoblang:
32.37.
32.38.
Do'stlaringiz bilan baham: |
