Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

egri chiziqli trapetsiya
dеb ataladi.
Quyidagi 70-rasmda ko‘rsatilgan 
aABb
egri chiziqli trapetsiyaning 
S 
yuzasini topish 
masalasini qaraymiz. 

---

Buning uchun dastlab 
aABb
egri chiziqli trapetsiyaning asosini ifodalovchi [
a
,
b
] kesmani
х
1

х
2

…

х
i

… 

х
n
–1
bo‘lgan
ixtiyoriy 
n
–1 ta nuqta yordamida bo‘laklarga ajratamiz. Bu 
nuqtalarga 
а
=
х
0
vа 
b
=
х
n
nuqtalarni birlashtirsak, [
a
,
b
] kesma ular orqali 
[
х
0
, 
х
1
] , [
х
1
, 
х
2
] , … , [
х
i-1
, 
х
i
] , …. , [
х
n-1
, 
х
n
] 
n
ta kichik kesmachalarga bo‘linadi.
So‘ngra 
x
i
, 
i
=1,2, …, 
n
–1 bo‘linish nuqtalaridan OY o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tqazib, 
berilgan 
aABb
egri chiziqli trapetsiyani 
n
ta kichik egri chiziqli trapetsiyalarga (yuqoridagi 69-
rasmga qarang) ajratamiz. Ravshanki 
aABb
egri chiziqli trapetsiyaning 
S
yuzasi 
n
ta kichik egri 
chiziqli trapetsiyalarning yuzalari yig‘indisiga tеng bo‘ladi. Shu sababli, agar asosi [
х
i-1
, 
х
i
]
(
i
=1,2,3,…, 
n
) bo‘lgan egri chiziqli kichik trapetsiyalarning yuzalarini 

S
i
kabi belgilansa, quyidagi 
tеnglik o‘rinli bo‘ladi:














n
i
i
n
i
S
S
S
S
S
S
1
2
1


(1) 
Bu yerda 

S
i
(
i
=1,2, ... , 
n
)
ham egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari bo‘lgani uchun 
ularning aniq qiymatlarini topa olmaymiz. Bu yuzalarning taqribiy qiymatini aniqlash uchun [
х
i–1
, 
х
i
] (
i
=1,2, ... , 
n
) kesmalarning har biridan ixtiyoriy ravishda 

i
nuqtalarni tanlab olamiz. Tanlangan 

i
nuqtalarda 
AB
egri chiziqni ifodalovchi 
y=f
(
x
)>0 funksiyaning 
f
(

i
)
 
qiymatlarini hisoblaymiz. 
Endi har bir 

S
i
(
i
=1,2, ... , 
n
) yuzalarni asoslari 

x
i
=
x
i
–
x
i
–1
va balandliklari 
h
i
=
f
(

i
)>0 bo‘lgan 
to‘g‘ri to‘rtburchaklarning yuzalari bilan almashtirib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo‘lamiz: 

S
1 

f
(

1
)

x
1
, 

S
2 

 f
(

2
)

x
2
, …, 

S
i 

f
(

i
)

x
i
, …,

S
n 

f
(

n
)

x
n
. 
Bu taqribiy tengliklarni (1) yig‘indiga qo‘yib, berilgan 
aABb
egri chiziqli trapetsiyaning 
izlanayotgan 
S
yuzasi uchun ushbu taqribiy tenglikka ega bo‘lamiz: 




n
i
i
i
x
f
S
1
)
(

. (2) 
(2) taqribiy tenglikning geometrik ma’nosi shundan iboratki, biz hozircha hisoblay 
olmaydigan egri chiziqli trapetsiyaning 
S
yuzasi to‘g‘ri to‘rtburchaklardan hosil qilingan 
pog‘onasimon shakl yuzasi bilan almashtirildi. Bunda bo‘laklar soni 
n
qanchalik katta qilib olinsa, 
pog‘onasimon shaklning yuzasi egri chiziqli trapetsiyaning 
S 
yuzasini shunchalik darajada aniqroq 
ifodalaydi. Bu mulohazadan izlanayotgan 
S
yuzaning aniq qiymati 
i
n
i
i
n
x
f
S






1
)
(
lim

(3) 
limit bilan aniqlanishi mumkinligini ko‘ramiz. 

O‘zgaruvchi kuch bajargan ishni hisoblash masalasi
.
Yo‘nalishi va kattaligi
o‘zgarmas bo‘lgan kuch ta’sirida moddiy nuqta 
L
to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakat qilayotgan bo‘lsin. 
Bunda kuch yo‘nalishi bilan moddiy nuqtaning harakat yo‘nalishi bir xil deb olamiz. Agar bu 
shartlarda kattaligi 
f
bo‘lgan kuch ta’sirida moddiy nuqta 
L
to‘g‘ri chiziq bo‘ylab 
a
nuqtadan 
b 
nuqtaga ko‘chirilsa, ya’ni 
b–a
masofaga siljigan bo‘lsa, unda bajarilgan ish 
A
=
f
∙(
 b–a
) formula bilan 
aniqlanishi bizga maktab fizika kursidan ma’lum. 
Endi yuqoridagi shartlardan kuch kattaligi o‘zgarmas degan shartdan voz 
kechib, u harakatning har bir 
x
nuqtasida biror uzluksiz 
f
(
x
) funksiya bo‘yicha o‘zgarib boradigan 
umumiyroq holni qaraymiz. Bu holda kuch moddiy nuqtani [
a
,
b
] kesma bo‘yicha 
harakatlantirganda bajarilgan 
A
ishni hisoblash masalasi paydo bo‘ladi. Bu masalani yechish uchun 
moddiy nuqtani bosib o‘tgan yo‘lini ifodalovchi [
a
,
b
] kesmani oldingi masaladagi singari 
n 
ta 

---

bo‘laklarga ajratib, har bir [
х
i–1
, 
х
i
] (
i
=1,2, ... , 
n
) kichik kesmada o‘zgaruvchi kuchning bajargan 
ishini

А
i
deb belgilaymiz. Bu holda [
а
, 
b
] kesmada bajarilgan umumiy 
A
ish qiymatini











n
i
i
n
A
A
A
A
A
1
2
1

(4) 
yig‘indi ko‘rinishida ifodalash mumkin. Bu yerda ham 

А
i
ishning aniq qiymatini hisoblay 
olmaymiz. Ularning taqribiy qiymatlarini hisoblash uchun [
х
i-1,
х
i
] kesmachalarning har biridan 
ixtiyoriy 

i
nuqtani tanlab olamiz va unda kuchning 
f
(

i
) qiymatini hisoblaymiz. Uzunligi 

x
i
=
x
i
–
x
i
–
1 bo‘lgan bu kichik kesmada kuch kattaligi o‘zgarmas va 
f
(

i
) deb hisoblab, ushbu taqribiy 
tengliklarni yoza olamiz: 

А
1 

 f
(

1
)∙ 

х
1 
,

А
2 

 f
(

2
)∙ 

х
2 
, …, 

А
i

 f
(

i
)∙ 

х
i 
, …,

А
n

 f
(

n
)∙ 

х
n
 .
Bularni (4) yig‘indiga qo‘yib, izlanayotgan 
A
ishning taqribiy qiymatini topamiz: 
i
i
n
i
x
f
A




)
(
1

. (5) 
Bu yerda ham [
х
i-1,
х
i
] bo‘laklar soni 
n
oshib borgan sari (5) taqribiy tenglik xatoligi tobora 
kamayib boradi deb kutish mumkin. Shu sababli 
A
ishning aniq qiymati 






n
i
i
i
n
x
f
A
1
)
(
lim

(6) 
limit orqali ifodalanadi. 

Mahsulot hajmini topish masalasi.
Agar ish kuni davomida mehnat unumdorligi 
o‘zgarmas, ya’ni ixtiyoriy 
t
vaqtda uning kattaligi
f
bo‘lsa, unda 
 
(T
1
,T
2
) vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi V=
f
∙( T
2 
–T
1
) formula bilan hisoblanadi. 
Masalan, sozlangan avtomatik qurilma uchun bu holni o‘rinli deb olish mumkin.
Ammo ishchining mehnat unumdorligi to‘g‘risida bunday deb bo‘lmaydi. Masalan, ish 
kunining boshlang‘ich davrida (ishga ko‘nikish) uning mehnat unumdorligi ma’lum bir vaqtgacha 
o‘sib boradi. So‘ngra, ishga kirishib ketgandan keyin, ma’lum bir vaqt oralig‘ida bir xil unumdorlik 
bilan mahsulot ishlab chiqaradi. Ish kuni oxiriga yaqinlashgan sari, charchash tufayli, mehnat 
unumdorligi pasayib boradi. Shunday qilib mehnat unumdorligi o‘zgaruvchan va 
t
vaqtga bog‘liq 
ravishda biror uzluksiz 
f
(
t
) funksiya orqali aniqlangan bo‘ladi. Bu holda (T
1
,T
2
) vaqt oralig‘ida 
ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi V uchun yuqoridagi formula o‘rinli bo‘lmasligi ravshandir va uni 
topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala ham oldingi masalalardagi mulohazalar asosida 
quyidagicha yechiladi. (T
1
,T
2
) vaqt oralig‘ini ixtiyoriy ravishda tanlangan 
T
1
=
t
0
< 
t
1
< 
t
2
< ∙∙∙ 
t
i
<∙∙∙ 
t
n–1
< 
t
n
=T
2
nuqtalar bilan 
n 
ta (
t
i–1
,
 t
i
) (
i
=1,2,3, ∙∙∙ , 
n
) vaqt oraliqchalariga bo‘laklaymiz. Bu
vaqt oraliqchalarida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini ΔV
i
(
i
=1,2,3, ∙∙∙ , 
n
) deb belgilasak, unda 
butun vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi 











n
i
i
n
V
V
V
V
V
1
2
1

(7) 
yig‘indi kabi ifodalanadi. Bu yig‘indidagi qo‘shiluvchilarning taqribiy qiymatlarini topish 
maqsadida (
t
i–1
,
t
i
) (
i
=1,2,3, ∙∙∙ , 
n
) vaqt oraliqchalaridan ixtiyoriy bir 

i
vaqtni tanlab olamiz va 
unda 
f
(

i
) mehnat unumdorligini aniqlaymiz. Kichkina (
t
i–1
,
t
i
) oraliqda uzluksiz 
f
(
t
) funksiya o‘z 
qiymatini unchalik ko‘p o‘zgartira olmaydi va shu sababli bu yerda mehnat unumdorligini 
o‘zgarmas va uning qiymati 
f
(

i
) deb olishimiz mumkin. Shu sababli Δ
t
i
=
 t
i
–
 t
i–1
vaqt ichida ishlab 
chiqarilgan mahsulot hajmi uchun
ΔV
i
≈ 
f
(

i
)∙Δ
t
i
,
i
=1,2,3, ∙∙∙ , 
n
, 
taqribiy tengliklarni yozish mumkin. Bu taqribiy tengliklarni (7) yig‘indiga qo‘yib, 




n
i
i
i
t
f
V
1
)
(

(8) 
taqribiy natijaga ega bo‘lamiz. Bu holda mahsulot hajmining aniq qiymati 






n
i
i
i
n
t
f
V
1
)
(
lim

(9) 

---

limit orqali topiladi. 
Yuqoridagi geometrik, fizik va iqtisodiy mazmunli uchta turli masala bir xil matematik usulda 
o‘z yechimini topib, (3), (6) va (9) ko‘rinishdagi bir xil limit orqali ifodalandi. Shu sababli bu usul 
va limitni umumiy holda qarash ma’noga egadir.