Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

universal 
almashtirma
dеb ataladi.Demak , universal almashtirma orqali 
IT
integral ratsional kasrli integralga 
keltiriladi: 


















dt
t
R
t
dt
t
t
t
t
R
dx
x
R
IT
)
(
1
2
1
1
2
)
cos
(sin,
1
2
2
2
2
1
,
. 


xdx
x
R
cos
)
(sin
ko‘rinishdagi integralni hisoblash uchun 
t
=sin
x
almashtirmadan 
foydalanish mumkin. Bunda 
dt
=cos
xdx
bo‘ladi va



dt
t
R
xdx
x
R
)
(
cos
)
(sin
ratsional kasrli 
integralga kelinadi. Masalan, 

---

Agar trigonometrik ifodali aniqmas integral

xdx
x
R
sin
)
(cos
ko‘rinishda bo‘lsa, unda 
t=
cos
x 
almashtirma maqsadga muvofiqdir. Chunki bu holda 
dt
= –sin
xdx
bo‘lib, berilgan integral 
to‘g‘ridan-to‘g‘ri ratsional kasrli integralga keladi: 




dt
t
R
xdx
x
R
)
(
sin
)
(cos
. 
dx
x
R

)
(
tg
 
ko‘rinishdagi trigonometrik ifodali aniqmas integrallar 
t
=tg
x
, 
х
=аrctg
x
, 
2
1
t
dt
dx


almashtirma yordamida darhol ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi: 







dt
t
R
t
dt
t
R
dx
tgx
R
)
(
1
)
(
)
(
1
2
. 


dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
2
2
ko‘rinishdagi, ya’ni integral ostidagi ifodada sin
x
va cos
x
funksiyalar faqat juft darajalarda qatnashgan integrallarni qaraymiz. Bu holda tg
x
=
t
almashtirmadan foydalanish mumkin. Bunda, 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
sin
,
1
1
1
1
t
dt
dx
t
t
x
tg
x
tg
x
t
x
tg
x










,
cos
bo‘lgani uchun, qaralayotgan integral ostidagi ifoda ratsional kasrga quyidagicha almashinadi:








dt
t
R
t
dt
t
t
t
R
dx
x
x
R
)
(
1
)
1
1
,
1
(
)
cos
,
(sin
1
2
2
2
2
2
2
. 
Bu paragrafni quyidagi integrallarni ko‘rish bilan yakunlaymiz: 
)
(
cos
cos
,
sin
sin
,
cos
sin
n
m
nxdx
mx
nxdx
mx
nxdx
mx




. 
Bu integrallar quyidagi trigonometrik formulalar orqali yoyish usulida ikkita oson 
hisoblanadigan integrallarga keltiriladi: 
]
)
sin(
)
[sin(
2
1
cos
sin
x
n
m
x
n
m
nx
mx




,
]
)
cos(
)
[cos(
2
1
sin
sin
x
n
m
x
n
m
nx
mx




, 
]
)
cos(
)
[cos(
2
1
cos
cos
x
n
m
x
n
m
nx
mx




. 
XULOSA 
Oldin ixtiyoriy ratsional funksiyadan olingan integralni hisoblash mumkinligi va natija 
elementar funksiyalar orqali ifodalanishini ko‘rib o‘tgan edik. Bu masala irratsional ifodali 
integrallar uchun qaralganda vaziyat butunlay o‘zgaradi. Birinchidan barcha irratsional 
funksiyalarni ratsional funksiya singari umumiy ko‘rinishda yoza olmaymiz. Ikkinchidan ma’lum 
bir ko‘rinishdagi irratsional funksiyalarning integrallari, unda qatnashuvchi parametrlarning 
qiymatlariga qarab, ayrim holda elementar funksiyalar orqali ifodalansa, boshqa hollarda esa 
maxsus funksiyalar ko‘rinishida bo‘ladi. Bunga misol sifatida binomial integrallarni ko‘rsatish 
mumkin. Chebishev tomonidan bu integral faqat uch holda elementar funksiyalarda ifodalanishi 
isbotlangan. Ammo ayrim ko‘rinishdagi irratsional ifodali integrallarni ma’lum bir almashtirmalar 
yordamida ratsional funksiyadan olingan integrallarga keltirish orqali hisoblash mumkin. Kvadrat 
uchhad qatnashgan ayrim irratsional ifodalar Eyler almashtirmalari orqali ratsional funksiyaga 
keltiriladi va hisoblanadi. 
Trigonometrik funksiyalar ishtirok etgan integrallar ham doimo elementar funksiyalarda 
ifodalanmasligini oldin (§2 ga qarang) Frenel integrali va integral sinus misollarida ta’kidlab o‘tgan 
edik. Ammo trigonometrik funksiyalar ratsional ko‘rinishda qatnashgan bir qator integrallarni 
universal almashtirma yordamida ratsional funksiyaga keltirish orqali elementar funksiyalarda 
ifodalash mumkin.