Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx



Download 2,06 Mb.
Pdf ko'rish
bet9/103
Sana14.07.2022
Hajmi2,06 Mb.
#799332
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   103
Bog'liq
a7544c7ecc 1585810696 (1)

binomial integral 
deb ataladigan va 





dx
bx
a
x
p
s
r
I
p
s
r
)
(
)
,
,
(
 
ko‘rinishda bo‘lgan integrallarni qaraymiz. Bunda 
r

s


– ratsional va 
a

b
– haqiqiy sonlarni 
ifodalaydi. Agar 
r

s


sonlarning uchalasi ham butun son bo‘lsa, unda integral ostida ratsional 
funksiya hosil bo‘ladi va bu holda binomial integral elementar funksiyalarda ifodalanadi. Agar 
r

s


sonlardan kamida bittasi butun bo‘lmasa, unda binomial integral ostida irratsional funksiya hosil 
bo‘ladi. Bunda binomial integral faqat quyidagi uch holda elementar funksiyalarda ifodalanishi 
mumkinligi buyuk rus matematigi P.L.Chebishev(1821-1894 y.) tomonidan isbotlangan: 
1)
p
–butun son. Bu holda 
m
m
t
x
x
t


,
 
almashtirma (

– integral ostidagi 
r
va 

sonlarning 
umumiy maxraji) bajaramiz. Agar 
r=k/m

s=q/m
deb olsak, unda 
dt
mt
dt
dx
t
x
t
x
m
m
q
s
k
r
1
,
,





bo‘ladi va binomial integral 





dt
bt
a
t
m
p
s
r
I
p
q
m
k
)
(
)
,
,
(
1
ko‘rinishni olib, ratsional funksiyadan olingan integralga keladi. 
n
=(
r
+1)/
s –
butun son . Bu holda 
p
=
k/m
bo‘lsa, unda 
a+bx
s
=t
m
 
almashtirmadan foydalaniladi. 
Bunda 
dt
t
b
a
t
bs
m
dx
b
a
t
x
t
bx
a
m
s
m
s
r
m
r
k
p
s
1
1
1
,
,
)
(
























 
bo‘lib, binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi: 






dt
t
a
t
s
b
m
p
s
r
I
m
k
n
m
n
1
1
)
(
)
,
,
(

2)
 
n=p
+(
r
+1)/
s
– butun son. Bu holda 
p
=
k/m
bo‘lsa, unda 
ax
–s
+b=t
m
 
almashtirma 
qo‘llaniladi. Bunda 
,
)
(
)
(
,
1
k
p
m
p
s
ps
p
s
s
m
t
b
t
a
b
ax
x
bx
a
b
t
a
x




















dt
b
t
t
b
t
a
s
ma
dx
b
t
a
x
m
m
s
m
s
r
m
r
2
1
1
1
)
(
,




















bo‘ladi va binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi: 







dt
b
t
t
s
ma
p
s
r
I
n
m
m
k
n
1
1
)
(
)
,
,
(


dx
x
x
x
R
I
s
r
n
m


)
,...,
,
(
ko‘rinishdagi integrallarni qaraymiz. Bunda 

orqali unga 
kiruvchi 
x

x
m
/
n
,..., 
x
r/s
o‘zgaruvchilarga nisbatan faqat ratsional amallar bajarilishi ifodalangan va 
m

n
, ..., 
r

s
–natural sonlardir. Bu integralni hisoblash uchun unda qatnashuvchi kasr daraja 
ko‘rsatkichlarining 
k
umumiy maxrajini topamiz va
dt
kt
dx
t
x
k
k
1
,



almashtirma bajaramiz. Bu 
holda 
x

x
m
/
n
,..., 
x
r/s
kasr ko‘rsatkichli darajalar yangi 
t
o‘zgaruvchining butun darajalari orqali 
ifodalanadi va natijada 


dt
t
R
I
)
(
1
ratsional kasrli integralni hosil etamiz. Bu integralni hisoblab va 
olingan natijada 
t=x
1/
n
deb, berilgan aniqmas integralni topamiz. 















dx
d
сх
b
ах
d
сх
b
ax
x
R
I
s
r
n
m
)
(
,...,
)
(
,
ko‘rinishdagi integralni qaraymiz By yerda 
R

m

n

s

r
uchun oldingi integralda qo‘yilgan shartlar saqlanadi. Kasrdagi 
a
,
b
,
c
va 
d
haqiqiy sonlar uchun 
a
/
b

c
/

shartni qo‘yamiz, chunki bu shart bajarilmasa 
d
b
d
x
d
c
x
b
a
d
b
d
cx
b
ax







1
bo‘ladi va integraldagi irratsionallik yo‘qoladi. 

Agar
m
/
n
, … , 
r
/

kasrlarning umumiy maxraji 
k
bo‘lsa, bu integralni hisoblash uchun 
k
к
d
сх
b
ax
t
t
d
сх
b
ax






,
almashtirma bajaramiz. Bu holda 


dt
a
ct
bc
ad
mt
dx
a
ct
dt
b
x
m
m
m
m
2
1
)
(
)
(
,








ya’ni 
x
va 
dx
yangi 
t
o‘zgaruvchi orqali ratsional ifodalanadi. Shu sababli yuqoridagi almashtirma 
natijasida berilgan integral uchun


dt
t
R
I
)
(
1
ratsional funksiyaning integraliga ega bo‘lamiz. Bu 
integralni hisoblab va hosil bo‘lgan natijada 
t
o‘rniga uning yuqoridagi ifodasini qo‘yib, berilgan 
I
integral javobini topamiz. 
4.2.
 
Eyler almashtirmalari. 
Shu bobning boshida (§2, 2.5. ga qarang) kvadrat uchhad 
qatnashgan integrallarni ayrim xususiy hollarda hisoblash masalasini ko‘rib o‘tgan edik. Endi bu 
masalani nisbatan umumiyroq bo‘lgan
)
0
(
)
,
(
2





a
dx
с
b
х
ax
x
R
IE
ko‘rinishdagi integrallar uchun qaraymiz. Bunday irratsional ifodali integrallar shveysariyalik 
buyuk matematik L. Eyler (1707-1783 y.) tomonidan taklif etilgan almashtirmalar yordamida 
ratsional kasrli integralga keltiriladi va hisoblanadi. Bu yerda uch hol qaraladi. 
I hol.
Bunda ko‘rilayotgan 
IE
integralda 
а
>0 deb olinadi. Bu holda integralda 
x
o‘zgaruvchidan yangi 
t
o‘zgaruvchiga 
Eyl
е
rning I alshmashtirmasi
dеb ataladigan va 
t
а
x
с
b
х
ах
с
b
х
ах
а
x
t









2
2
ko‘rinishda bo‘lgan almashtirma orqali o‘tiladi. Bu holda IE integraldagi 
x

c
bx
ax


2
va 
dx
yangi 
t
o‘zgaruvchi orqali ratsional kasr ko‘rinishida ifodalanadi. Demak, qaralayotgan 
IE
integral 
ratsional kasrli integralga keltirilib, ko‘zlangan maqsadga erishildi.
II hol.
Endi 
c
>0 bo‘lsin. Bu holda 
IE
integralni hisoblash uchun ushbu 
Eylerning II 
almashtirmasidan
foydalanamiz: 
c
х
t
с
b
х
ax




2

Bu almashtirma natijasida ratsional kasrli integralga kelamiz 
III hol.
Qaralayotgan 
IE
integral ostidagi
с
b
х
ах


2
kvadrat uchhad 

va 

haqiqiy ildizlarga ega, 
ya’ni diskriminant 
D=b
2
–4
ac
>0 bo‘lsin. Bu holda
t
х
с
b
х
ах
)
(
2





ko‘rinishdagi
Eyl
е
rning III almashtirmasidan
foydalanib, integral ostidagi ifodani ratsional kasr 
ko‘rinishiga keltiramiz.
4.3.
 
Trigonometrik ifodali integrallar.
Bu yerda biz trigonometrik funksiyalar qatnashgan 


dx
x
x
R
IT
)
cos
,
(sin
ko‘rinishdagi integrallarni qaraymiz. Bunda 
R
(sin
x
,cos
x
) ifoda sin
x
va cos
x
ustida faqat arifmetik 
amallar bajarilgan ifodani belgilaydi. Bu integral 
t
x
tg

2
almashtirma yordami bilan hamma vaqt 
ratsional kasrning integraliga keltirilishi mumkinligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham 
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
1
2
cos
2
sin
2
sin
t
t
x
tg
x
tg
x
x
x
x
x
x
x









,
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
1
2
sin
2
cos
cos
t
t
x
x
x
x
x
x
x








va 
2
1
2
2
2
2
t
dt
t
d
dx
t
x
t
x






arctg
,
arctg
arctg
ekanligidan sin
x, 
cos
x, x, dx
kiritilgan 
t
orqali ratsional ifodalanadi. Shu sababli 
t
=tg(
x
/2) 

Download 2,06 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   103




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish