100 лет со дня рождения

Раздел II
А.А. Ляпунов о своих учителях,
соратниках, учениках
А.А. Ляпунов о своих учителях,
соратниках, учениках

---

.

---

37
Николай Николаевич Лузин
НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ЛУЗИН.
МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА.
ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ*
Развитие теории множеств и теории функций шло после работ 
Г. Кантора в двух направлениях.
С одной стороны, шло изучение основных понятий математи-
ческого анализа, таких как функционал, производная, интеграл, 
ряд. При этом общая точка зрения теории множеств позволила об-
наружить целый ряд новых глубоких свойств этих понятий. Кроме 
того, она обнаружила недостаточность многих из классических оп-
ределений и вызвала к жизни широкий круг новых образов, игра-
ющих в настоящее время выдающуюся роль во всей современной 
математике. Это направление получило название метрической тео-
рии функций и множеств. С другой стороны, оказалось необходи-
мым предпринять детальный анализ тех конструкций, с помощью 
которых в математике создаются новые объекты. Бурное развитие 
теоретико-множественной математики привело к необходимости 
критического пересмотра её основ, чрезвычайно подробного изу-
чения смысла вводимых новых понятий и отношений между ними. 
Это критическое направление оказалось в то же время созидатель-
ным, так как оно привело к открытию новых объектов, нередко 
играющих роль далеко за пределами породившего их направления. 
Это направление получило название дескриптивной теории функ-
ций и множеств.
Н.Н Лузин принял чрезвычайно плодотворное участие в раз-
витии первого из этих направлений и явился инициатором и соз-
* Судя по всему, текст был написан в 1936 году в связи с проходив-
шим в то время безобразным, в определённой мере позорным для Акаде-
мии наук, делом «Об академике Н.Н. Лузине». Чтобы понять обстановку 
на этом судилище, достаточно познакомиться с обстоятельным трудом, 
составленным на основе стенографических отчетов и других архивных 
ма териалов сотрудниками Института истории естествознания и техники 
им. С.И. Ва вилова РАН и Архива Российской Академии наук Н.С. Ермо-
лаевой, А.И. Володарским и Т.А. Токаревой: 
Дело академика Николая Ни-
колаевича Лузина
// Ответственные редакторы С.С. Демидов и Б.В. Лёв-
шин / СПб.: РХГИ, 1999. – 312 с. (
Н. Ляпунова
).

---

38
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
дателем значительной части второго. Кроме того, Н.Н. явился пер-
вым проводником идей обоих направлений в нашем Союзе и 
главой школы, которая в значительной мере определила современ-
ное развитие и распространение теории функций действительного 
переменного.
Первый период научной деятельности Н.Н. Лузина относится 
к метрической теории функций. Первые научные работы Н.Н. Лу-
зина относятся к теории тригонометрических и степенных рядов. 
Им были построены примеры степенного ряда, расходящегося 
всюду на границе круга сходимости, а также тригонометрического 
ряда, коэффициенты которого стремятся к нулю, и который расхо-
дится почти всюду. Это давало исчерпывающий ответ на вопросы, 
предложенные крупным французским учёным Фату.
Вслед за этим Н.Н. Лузин получает существенные результаты 
по теории тригонометрических рядов Он показывает, что если три-
гонометрический ряд сходится абсолютно на множестве положи-
тельной меры или на множестве второй категории, то он сходится 
абсолютно всюду.
Другой важный результат Н.Н. Лузина по абсолютной сходи-
мости состоит в том, что если тригонометрический ряд сходится 
абсолютно в двух точках, расстояние между которыми не соизме-
римо с 
π
, то он сходится абсолютно на всюду плотном множестве.
Главные результаты Н.Н. Лузина по метрической теории функ-
ций содержатся в его диссертации «Интеграл и тригонометричес-
кий ряд». Эта диссертация была представлена в Московский Уни-
верситет на соискание степени магистра, однако Н.Н. Лузин был 
сразу удостоен степени доктора 
–
случай почти не имевший преце-
дентов в Московском Университете.
В этой диссертации Н.Н. Лузин отправляется от новых опре-
делений понятия интеграла, предложенных Лебегом и Данжуа, и 
обнаруживает новые глубокие свойства этих понятий и функции, 
для которых они могут быть определены.
Установленная Н.Н. Лузиным в диссертации теорема о том, 
что всякая измеримая функция непрерывна, если пренебрегать 
множеством сколь угодно малой меры, является одним из цент-
ральных обстоятельств метрической теории функций. Её интерес 
заключается в том, что она вскрывает внутреннее родство между 
таким сложным и мало обозримым понятием, как измеримая функ-
ция и понятием непрерывной функции, являющимся достоянием 
каждого образованного человека. В установлении этой теоремы 
сказалась своеобразная особенность творчества Н.Н. Лузина, наи-
более ярко проявившаяся в его позднейших дескриптивных рабо-

---

39
Николай Николаевич Лузин
тах, 
–
умение найти основное ядро «сложных», но значительных по 
природе образований, и вскрыть глубокое, но своеобразное род-
ство их с хорошо изученными и «простыми» вещами. Такое прояс-
нение обстановки всегда облегчает дальнейшие исследования в 
данной области. Быть может, этим объясняется то, что едва ли не 
во всех областях, в которых Лузин работал, он всегда имел боль-
шое число последователей.
Другим ярким результатом этой диссертации была теорема о 
том, что всякая измеримая функция имеет примитивную функцию, 
то есть, что всякая измеримая функция почти всегда совпадает с 
некоторой производной, определённой также почти всюду. Эта тео-
рема также вскрывает глубокое родство «сложных» понятий теоре-
тико-множественной природы с понятиями «простыми» и общеиз-
вестными.
В связи с этим Н.Н. Лузин ставит вопрос о том, каким спосо-
бом отличить интеграл Лебега или Данжуа от всех остальных при-
митивных данной функции. В диссертации показано, что этот воп-
рос не может быть решён на классическом пути. Дело в том, что 
даже если некоторая функция является точной производной, мо-
жет оказаться, что её интеграл Лебега в некоторых точках не имеет 
производной. Однако, Н.Н. Лузин показал, что интеграл Лебега 
среди всех примитивных от данной функции характеризуется тем, 
что он имеет наименьшее полное изменение. Для того, чтобы ре-
шить аналогичный вопрос для случая интеграла Данжуа, Н.Н. Лу-
зин ввёл понятие изменения функции на совершенном множестве. 
С помощью этого понятия он указал характеристическое свойство 
интеграла Данжуа, выделяющее его среди всех примитивных от 
данной функции.
Далее Н.Н. Лузин сопоставляет все основные определения ин-
теграла, бывшие в ходу в то время, и показывает, что ни один из 
этих интегралов не расширяет интеграла Данжуа.
В той же диссертации Н.Н. Лузин сильно продвинул теорию 
тригонометрических рядов. Кроме результатов по абсолютной схо-
димости, Н.Н. Лузин получил ряд глубоких результатов, выясняю-
щих связь между теорией интегрирования и изображением функ-
ций тригонометрическими рядами. Н.Н. Лузин показал, что всякая 
измеримая функция может, в известном смысле, быть отображена 
тригонометрическим рядом (который суммируется почти всюду к 
этой функции методами Пуассона и Римана), впрочем, такое изо-
бражение отнюдь не единственно. Кроме того, опираясь на теорию 
тригонометрических рядов, Н.Н. Лузин открыл новое глубокое 
свойство измеримых множеств. Оно состоит в том, что почти для 

---

40
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
любой точки, измеримое множество в некоторой окрестности этой 
точки является почти симметричным относительно выбранной точ-
ки. Идеи, развитые Н.Н. Лузиным в диссертации, оказали огром-
ное влияние на дальнейшее развитие метрической теории функ-
ций. Она явилась отправным пунктом для работ многих учеников 
Н.Н. Лузина, из которых получилось немало выдающихся учёных. 
Работы учеников Н.Н. Лузина способствовали проникновению 
идей, заключённых в этой диссертации, в различные смежные об-
ласти математики. Теория функций действительной переменной 
оказала глубокое влияние на развитие целого ряда областей мате-
матики. Многие выдающиеся учёные, начав свою деятельность с 
теории функций, переходили в другие области науки и оставляли 
там глубокий след. Н.Н. Лузин не остался в стороне от этого тече-
ния. В его руках теоретико-функциональные идеи становятся мо-
гущественным аппаратом в деле изучения граничных свойств ана-
литических функций. Многие из этих результатов Н.Н. Лузина 
вошли в настоящее время во многие монографии и специальные 
руководства. К числу таких результатов относится установленная 
совместно с И.И. Приваловым теорема о том, что функция, осу-
ществляющая конформное отображение области, ограниченной 
спрямляемой кривой на круг, абсолютно непрерывна на границе. 
Очень крупным результатом в теории аналитических функций яв-
ляется теория Н.Н. Лузина о том, что функция аналитическая 
внутри круга равна тождественно нулю, если она стремится к нулю 
при приближении к границе круга по всем некасательным путям, 
для множества точек границы положительной меры. Н.Н. Лузин 
установил глубокую связь между граничными свойствами аналити-
ческих функций и метрикой Римановой поверхности, на которую 
они отображают единичный круг, установив следующее предложе-
ние: если функция разлагается внутри круга в степенной ряд, у 
которого ряд из коэффициентов абсолютно сходится, то почти во 
всякой точке границы можно провести замкнутую касательную 
кри вую, область ограничения которой отображается на участок Ри-
мановой поверхности конечной площади.
Перечисленные результаты далеко не исчерпывают того, что 
Н.Н. Лузин сделал в метрической теории функций и теории ана-
литических функций.
Работы Н.Н. Лузина в этих областях сыграли огромную роль и 
вызвали большое число дальнейших работ других учёных, в осо-
бенности учеников Н.Н. Лузина. Однако с 1915 года основные ин-
тересы Н.Н. Лузина на долгое время переходят в область дескрип-
тивной теории множеств. В первом десятилетии XX в. французские 

---

41
Николай Николаевич Лузин
ученые, Борель, Бэр и Лебег, выяснили исключительно большое 
значение для математического анализа класса множеств, назван-
ных Борелевскими множествами, или 
B-
множествами. Эти мно-
жества получаются исходя из отрезков, повторным применением 
операций счётная сумма и счётное пересечение.
Все математические конструкции предыдущей эпохи были ог-
раничены рамками