И здан и е второе, стереотипное

11 Г Л У
Awn = wn — \Twn ^
0. 
(9)
Множество { w n } ограничено, а оператор Т вполне непреры­
вен. Выберем подпоследовательность { w „h } так, чтобы XTw„k
*) На самом деле, как нетрудно видеть, Я  (Л4) = R (А).

---

стремилось к некоторому пределу, который мы обозначим 
через w0. Из соотношения (9) ясно, что
wnk — lT w nk— 0. 
( 10)
Отсюда wnk-—wо, « 'o G ’&i и ||a>0|| = lim||w„ft||= 1. Переходя 
в формуле ( 10) к пределу, получим
Aw0 = w0 — X TW(, —  0
и, следовательно, и>
0 £ «§<,• Но, как мы видели, w 0 
$ it и 
необходимо Wq — О, 
ч т о
противоречит равенству ||«?0| | = 1. 
Итак, оператор Л^1 ограничен.
Теперь можно доказать справедливость включения (6). 
Пусть /£«£>?• Множество D (A y 1) плотно в .§*, поэтому 
можно найти последовательность { / „ } такую, что /„ £ D(Ay ‘) 
и / „ — /. Положим un = A \xf n. Оператор Л71 ограничен, а 
последовательность { / „ } сходится, поэтому сходится и по­
следовательность {«„ }; пусть гг0 = lim ип. Имеем, далее, /„ =
= Л1и„; оператор Л(, очевидно, ограничен, и в последнем 
соотношении можно перейти к пределу: f = A lu0. Отсюда сле­
дует, что f ^ R (A t)C 2 R (A ), и включение ( 6) доказано.
§ 5. Альтернатива Фредгольма
Из теорем третьей и четвертой Фредгольма вытекает важ­
ное предложение, известное под названием альтернативы  
Фредгольма:
П у с т ь Т есть в. н. о. в гильбертовом пространстве J
q
. 
Либо уравнение
(1 — 1Т)и = 0 
(1)
и м е ет только тривиальное решение, и тогда неоднород­
ное уравнение
(1 — \ T ) u = f  
(2)
разрешимо при любом свободном члене f (z $ и решение 
это го уравнения единственно; либо уравнение ( 1) им еет 
нетривиальные решения, и тогда уравнение ( 2) или неразре­
шимо, или имеет бесконечно много решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если уравнение (1) имеет только 
тривиальное решение, то данное значение X — правильное для 
оператора Т. Тогда значение X — правильное для оператора

---

Г* (теорема 3 Фредгольма), уравнение
{ I — lT * )v = 0 
(3)
имеет только тривиальное решение г» = 0. Любой элемент 
/ 6Е •§ к этому решению ортогонален; по теореме 4 Фред­
гольма уравнение (2) имеет решение. Это решение единствен­
ное: если и, и щ — два решения уравнения (2), то
(/ — X Т) щ = (/ — X 7) щ =  /.
Вычитая, находим
(/ — \ T )w —  0, 
w = Щ — Ui-
Так как значение X правильное, то w = 0 и щ — щ. Первая