И здан и е второе, стереотипное

(
10
)
Матрица его старших коэффициентов имеет вид 
' 1 0  
0 \
О — а* 
0 
• 
(8)
^0 
0 
— а»/
3. Для уравнения теплопроводности
‘ а Ч Б + у + З ) - : ' * * * *
<
9>
матрица старших коэффициентов имеет вид 
^0 
0 
0 
0\
0 — 1 
О 
О 
0 — 1 
^0 
0 
0 
-
4. Для уравнения Лапласа
т
< п
>
патрица старших коэффициентов есть единичная матрица по­
рядка т .
5. Уравнение
, ( 1+ У ) g - 2* У щ - у + (1+  
9
= 0 
<12>
имеет матрицу старших коэффициентов
f l + y — х у \
■
 х у 1 -f- •*/
§ 2. Классификация уравнений второго порядка
Уравнения второго порядка в частных производных клас­
сифицируются в зависимости от свойств характеристических 
чисел матрицы старших коэффициентов данного уравнения. 
Напомним, что характеристические числа матрицы
(А\\ 
••• Ain 
Aji Л и . . .
А^п
Ani
• . .
А п
(13)

---

суть корни уравнения (/ — единичная матрица) 
Ап — А Л^ 
... А1п
•и 
• • •
Det (Л — Х/) =
Л'24 — X . . . Ain
=
0
^л1 
Лл9 
•. • Л„(, 
X
и что все характеристические числа симметричной матрицы 
вещественны.
Рассмотрим дифференциальное уравнение, несколько более 
общее, чем уравнение ( 1. 2)
где Ф — произвольная функция своих аргументов. Матрица 
его старших коэффициентов симметрична, а тогда все ее ха­
рактеристические числа вещественны. Зафиксируем некоторую 
точку х, в которой определены коэффициенты уравнения ( 1), 
и пусть в этой точке матрица его старших коэффициентов 
имеет а положительных, р отрицательных и ? нулевых харак­
теристических чисел; очевидно,
Будем говорить в этом случае, что в рассматриваемой точке 
х  уравнение (1) принадлежит к типу (а, р, f). Уравнение (1) 
принадлежит к типу («, р, if) на некотором точечном множе­
стве, если оно принадлежит к типу (а, (3,?) в каждой точке 
данного множества. Очевидно, если старшие коэффициенты 
A jk в уравнении ( 1) постоянные, то тип этого уравнения один 
и тот же во всем пространстве. Если изменить знаки всех 
членов дифференциального уравнения, то числа а и р поме­
няются местами, поэтому мы будем считать тождественными 
типы (а,р,^) и (р, a, -f).
Рассмотрим в качестве примеров уравнения пп. 1— 5 пред­
шествующего параграфа. В примерах 1— 4 матрицы старших 
коэффициентов — диагональные и их характеристические числа 
совпадают с элементами главной диагонали. Отсюда сразу 
видно, что в любой точке пространства уравнение струны
т
-f- Ф (x v 
X i