И здан и е второе, стереотипное

§ 4. Доказательство четвертой теоремы Фредгольма
Пусть 
idj
, ш4, . .. ,
s ^ O , — линейно независимые ре­
шения однородного уравнения
(/ — \ T *)v — Q. 
( 1)
сопряженного с уравнением
(7 - А 7 'И) = /. 
(2)
Обозначим через ,£>* подпространство, натянутое на элементы 
<
*>
1, u)S, ..., u>s; если s = 0 (уравнение ( 1) не имеет нетри­
виальных решений), то ,£jj coctqht из одного нуля. Ортого­
нальное дополнение к подпространству 
обозначим через
Ф ? = £ е £ о * -

---

Введем еще следующие обозначения. Линейно независи­
мые решения однородного уравнения
(/ — Х7)и = 0 
(3)
обозначим через
странство — через ф 0. Положим еще
<£>i — ф 0  фо-
/
Наконец, положим A — I — У.Т, и пусть R (А ) — область зна­
чений оператора A :R (A ) = A ($ ). Заметим, что подпростран­
ства ф 0 и $ 1  совпадают соответственно с множествами ре­
шений однородных уравнений (3) и ( 1) или, что то же, урав­
нений Аи = 0 и Л*и = 0.
Четвертая теорема Фредгольма равносильна утверждению,
что
R {A ) = & .  
(4)
Необходимость условия теоремы означает, что
R (A ) С Ф Т .
(б)
а достаточность — что
(
6
)
Справедливость включений (5) и (6) мы и будем доказывать.
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть уравнение (1.1), которое мож­
но записать в виде
Л « = / , 
( П
разрешимо: существует элемент и £ ф, обращающий уравне­
ние ( l') в тождество. Тогда f ^ R ( A ) .  Пусть ср— произволь­
ный элемент подпространства .£)*. Тогда
(/. ? ) = (Аи, ср) = (и, А* 0.
Таким образом, / ортогонально к .£)*, следовательно, / £ .§*. 
Включение (5) доказано.
Д о с т а т о ч н о с т ь . Введем в рассмотрение оператор А» 
определенный только на подпространстве .jpt и совпадающий 
там с оператором А,
А хи — Аи, 
(7)

---

Ai называется сужением оператора А на подпространство 
Ясно, что *) R  (Л^ С R  (^)- Мы будем доказывать, что
Я ( А ) Э Ф ? -
( 8)
Уравнение Ауи =  0 имеет только тривиальное решение и = 0. 
Действительно, если Ахи = 0, то Аи — 0 и 
Но по
определению оператора A t и £ <§i. Будучи элементом двух 
ортогональных пространств, и ортогонален самому себе и, 
следовательно, и —  0. Отсюда следует, что оператор Л, имеет 
обратный Ау *; его область определения D ( A J 1)==R (A t) С R  04) 
и, раз включение (5) уже доказано, Z) ( A f ’) С >£>*•
Докажем прежде всего, что множество D (A [ * )= / ? (Л,) 
плотно в ,£>*. Действительно, в противном случае нашелся бы 
элемент ш 
о> ф  0, такой, что (Л,гг, ш) = (Ли, <о) = 0 для
всех м G Ф 1- Равенство (Аи, <м) = 0, очевидно, верно и тогда, 
когда и £ 4р0. Но тогда оно верно всюду в *£>. Теперь
(и, Л*о>) = (Ли, (о) = 0, V » G &
Элемент Л*со ортогонален ко всему пространству, поэтому 
Л*ю = 0 и <» £ •£)*. Таким образом, ш принадлежит одновре­
менно двум ортогональным подпространствам 
и фо и, 
следовательно, ш = 0.
Докажем теперь, что оператор Л7‘ ограничен. Допустим 
противное. Тогда 
найдется последовательность элементов 
ыя £ D (Л Г ') таких, что
II АТ 1цп II 
я 
„ — j 9 
IK II 
> П г
п — 1* А —
Положим Ai'itn = ф„; очевидно, „ £ R (A j l) = D (ЛО =
Теперь и„ = Л^,, = Лф* и
М Ы
<
4
-.
Hnll
Далее положим ® „ = iry^r . Тогда w n 
£
j|fle>„||=l 
и