И здан и е второе, стереотипное

д^и.
-dlr — A u = f ( x , t).
(7 )
П усть для э т о г о уравнения поставлена задача Коши с 
начальными условиями (2). Применим преобразование Ф урье * 
по координатам. Обозначая
~
П х '
J
П у ' <)е- Цх' у)с1У’
получим
У
+ | л - | а ц = / ( л г » 0 -
(8 )
Реш ение э т о г о уравнения, удовлетворяю щ ее условиям (4),

---

и ( х , t) —
ср0 (•*) cos 1 .у 1 1 - f - ( J f ) - [ ■
j p +
+ J f ( x ,  
X ) 
sin 
dr.
(9 )
о
Если функции cpo (x), cp! (jc) и f i x , t) имеют доста точ н ое число 
производны х и отличны от нуля тол ьк о в конечной области 
изменения переменных *), то обр а тн ое преобразование Ф урье, 
примененное к формуле (9), дает решение задачи Коши для 
н еод н ор од н ого волнового уравнения.
§ 2. Преобразование решения
Ф ормула (1.6), дающая реш ение задачи Коши для в ол н о­
в о го уравнения, может быть улучш ена. П реж де всего, если 
заменить функции tpoCv) и
ер, в виде интегралов Фурье, т о получатся интегралы кр ат­
ности 2т; на самом деле м ож н о обой ти сь интегралами г о ­
раздо меньшей кратности. Далее, для обоснования ф ормулы
(1 .6 ) приш лось потребовать сущ ествования производны х из­
лишне в ы со к о го порядка о т начальных функций; излишне 
также требование, чтобы эти функции были отличны о т
нуля т о л ь к о в конечной области. Наконец, из вида ф ормулы
(1 .6 ) ср а зу не ясно, что значение u ( x , i )  определяется т о л ь к о 
через значения начальных функций в области зависимости 
(§ 4 гл. 21).
М ы постараемся преобразовать ф орм ул у (1 .6 ) так, чтобы
она стала бол ее доступной для анализа. Окончательные ф о р ­
мулы б у д у т выведены в следую щ ем параграфе для случая 
от = 3; здесь будут выполнены н ек оторы е предварительные 
преобразования для общ его случая.
Введем обозначение