И здан и е второе, стереотипное

Ъ
(■*) 
= 0 ( \ х
Г -2).
В таком случае подынтегральная функция в (6 ) имеег 
на бесконечности оценку 0(\у\~т~3), первы е и вторы е п р о­
изводные подынтегральной функции по X j, 
х%
, . • ■ > 
х т, 
t
имеют 
оценки 0(|_у | т ~4) и 0 (\ у  Г " " 1) соотв етств ен н о. В о всех сл у ­
чаях эти оценки равномерны отн осител ьн о 
х
и t. О тсю да 
следует, что как интеграл (6), так и интегралы, полученные 
из него дифференцированием, однократным или двукратным, 
сходятся равномерно п о х  и t. А в таком случае функция (6 ) 
непрерывна и дважды непрерывно дифф еренцируема по к о о р ­
динатам и времени, причем 
производны е м ож н о получить 
дифференцированием под знаком интеграла.
Теперь нетрудно доказать, что функция (6 ) удовл етворяет 
начальным условиям (2 ) и вол н овом у уравнению (1 ). Полагая 
в 
(6 ) t —  О, найдем
m
и
(Л-, 0) = (2 *) “ 7 $ iu Су) 
е‘
■>’> 
dy —
'fu(A');

---

нетрудно видеть, что условия теоремы 23.1.3 в данном слу­
чае выполнены. 
Продифференцировав ф ормулу (6 ) по / и 
положив t =  0, найдем также
ди (х, t) 
dt
t-=
о
Далее
& и _ _
д е ~
~ — (2к)
2 ^ 1 ^ |а [<Ро O ') cos \у\
т
Ды = — ( 2и) 
2 $ I j 'I ’ fio C v ) 
COS 
\y\t-\-
функция (6), следовательно, удовлетворяет вол новом у урав­
нению.
Т о т ж е прием — сведение к обыкновенному дифф ерен­
циальному уравнению с пом ощ ью преобразования Ф урье —
мож но применить и к неоднородном у волновому уравнению