Oʼzbekiston respublikаsi oliy vа oʼrtа mаxsus tаʼlim vаzirligi toshkent kimyo-texnologiya instituti

2-t e o r e m a. 
f(x)
funksiya (a;b) intervalda chekli 
𝑓
′
(𝑥)
hosilaga ega bo‘lsin. Bu funksiya shu 
intervalda kamayuvchi bo‘lishi uchun (a;b) da
𝑓
′
(𝑥) ≤ 0
bo‘lishi za’rur va yetarli. 
3-t e o r e m a. 
Agar 
𝑓(𝑥) 
va 
𝑔(𝑥)
funksiyalar: 1) 
[𝑎; 𝑏]
aniqlangan va shu segmentda chekli 
𝑓
′
(𝑥), 𝑔
′
(𝑥)
hosilalarga ega; 2) 
𝑓
′
(𝑥) ≥ 𝑔
′
(𝑥) (𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]); 3) 𝑓(𝑎) = 𝑔(𝑎)
bo‘lsa, u holda 
(𝑎;𝑏] 
yarim intervalda f(x)>g(x) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 
I s b o t. 
f(x) va g(x) funksiyalarning ayirmasini k(x) bilan belgilaymiz: 
k(x)=f(x)-g(x). 
Unda 
𝑘
′
(𝑥) = 𝑓
′
(𝑥) − 𝑔
′
(𝑥)
bo‘lib, 2) shartga ko‘ra
𝑘
′
(𝑥) ≥ 0
bo‘ladi. Demak, k(x) funksiya
𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] 
da o‘suvchi. Agar k(a)=f(a)-g(a)=0 bo‘lishini e’tiborga olsak, unda 
(𝑎;𝑏] 
yarim intervalda 
k(x)>0 ekanligini topamiz. Demak,
𝑘(𝑥) > 0 ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) > 0 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥).
shunday qilib, 
(𝑎; 𝑏) 
da
f(x)>g(x) 
bo‘ladi. 
1-m i s o l. 
Ushbu 
ln(1 + 𝑥) > 𝑥 −
𝑥
2
2
tengsizlikni isbotlang. 

---

18 
Y e c h i m. 
Bu tengsizlikni isbotlashda 3-teoremada keltirilgan shartlardan foydalanamiz. f(x) 
va g(x) funksiyalar sifatida 
f(x) = ln(1 + 𝑥), 𝑔(𝑥) = 𝑥 −
𝑥
2
2
funksiyalarni olaylik. Bu funksiyalar uchun 
(0; +∞)
oraliqda 3-teorema shartlari bajariladi. 
1)
𝑓
′
(𝑥) =
1
1+𝑥
, 𝑔
′
(𝑥) = 1 − 𝑥;
2)
(0; +∞)
oraliqda
1
1 + 𝑥
> 1 − 𝑥
bo‘ladi (chunki 
1 − 𝑥
2
< 1 ⇒ (1 − 𝑥)(1 + 𝑥) < 1 ⇒ 1 − 𝑥 <
1
1+𝑥
); 
3)
𝑓(0) = 𝑙𝑛1 = 0, 𝑔(0) = 0 ⇒ 𝑓(0) = 𝑔(0). 
Unda f(x)>g(x), ya’ni
ln(1 + 𝑥) > 𝑥 −
𝑥
2
2
bo’ladi. 
2-m i s o l. 
Ushbu
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 > 2𝑥, 0 < 𝑥 <
𝜋
2
tengsizlikni isbotlang. 
Bu tengsizlikni ishbotlash uchun ham 3-teorema shartlaridan foydalanamiz. 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑡𝑔𝑥; 𝑔(𝑥) = 2𝑥
belgilashlarni kiritib olib, teorema shartlarini tekshirib ko‘ramiz. 
1)
𝑓
′
(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 +
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
;
𝑔
′
(𝑥) = 2.
2)
0 < 𝑥 <
𝜋
2
oraliqda, 
𝑓
′
(𝑥) > 𝑔
′
(𝑥)
, chunki:
𝑐𝑜𝑠𝑥 +
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
> 𝑐𝑜𝑠𝑥 +
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
≥ (𝑎; 𝑏 ≥ 0 𝑏𝑜
′
𝑙𝑔𝑎𝑛𝑑𝑎 
𝑎 + 𝑏
2
≥ 2√𝑎𝑏 𝑠ℎ𝑢𝑛𝑔𝑎 𝑘𝑜′𝑟𝑎) ≥ 2
3)
f(0)=0, g(x)=0
⇒ 𝑓(0) = 𝑔(0).
Berilgan 
tengsizligimiz 
3-teorema 
shartlarini 
qanoatlantirdi. 
Demak,
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 > 2𝑥, 0 < 𝑥 <
𝜋
2
. 

---

19 
TO‘PLAMLARNING EKVIVALENTLIGI VA UNGA DOIR MISOLLAR 
Babayev M.M., Shermatov Sh.
 
O’zbekiston Respublikasi Davlat Xavfsizlik Xizmati “Temurbeklar maktabi” harbiy-
akademik litseyi
To‘plam matematikaning eng asosiy tushunchalaridan bo‘lib, bu tushuncha misollar yordamida 
tushuntiriladi. To‘plamni tashkil etgan predmetlar uning elementlari deyiladi. To‘plam elementlari 
soni chekli, sanoqli va kantinum bo‘ladi. Agar to‘plam elementlari sonini sanab tugatish mumkin 
bo‘lsa, u chekli deyiladi, agar to‘plam elementlariga barcha natural sonlarni mos qo‘yish mumkin 
bo‘lsa, bunday to‘plamga sanoqli to‘plam deyiladi. Agar to‘plam elementlariga (0;1) intervaldagi 
barcha nuqtalarni mos qo‘yish mumkin bo‘lsa, unda bu to‘plamga kontinum to‘plam deyiladi. 
Matematikaning 
maxsus 
kurslarida 
bu 
tushunchalarga 
batafsil 
to‘xtaladi.
To‘plamning quvvati uning elementlari soniga qarab belgilanadi, agar to‘plam elementlari soni chekli 
bo‘lsa, to‘plam chekli quvvatga ega deyiladi. Sanoqli to‘plamning quvvati 
𝒳
0
(alef nol) ga teng deb 
qabul qilingan. Kontinum quvvatga ega to‘plamning quvvati 
𝒳
(alef) ga teng deb qabul qilingan. 
Chekli to‘plam quvvatini n bilan belgilab, bu to‘plamlarning quvvatlarini taqqoslaydigan 
bo‘lsak,
n
< 𝜒
0
< 𝜒
munosabatga ega bo‘lamiz. Ekvivalent to‘plamlar orasida tranzitivlik xossasi o‘rinlidir. 
Ba’zi to‘plamlarning quvvatini aniqlash quvvati oldindan ma’lum bo‘lgan to‘plamlarga 
ekvivalentligi yordamida aniqlanadi. Quyida biz o‘zaro ekvivalent bo‘lgan to‘plamlarga bir nechta 
misollar keltiramiz. 
Misol 1: 
Ixtiyoriy ikkita 
[𝑎, 𝑏]
va 
[𝑐, 𝑑]
kesmalar 
o‘zaro ekvivalentdir, ya’ni ulardagi nuqtalar orasida o‘zaro 
bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin. Bu moslik 
quyidagicha 
o‘rnatiladi: 
uzunligi 
[𝑎, 𝑏] 
va 
[𝑐, 𝑑]
kesmalardagi p va q nuqtalarni bir-biriga mos qo‘yish uchun 
uzunligi ularnikidan kichik bo‘lgan ixtiyoriy 
[𝑒, 𝑓]
kesmani 
olib, moslikni 1-rasmdagiday o‘rnatamiz. 
1-rasm 
Shu usul bilan
[𝑎, 𝑏]
va 
[𝑐, 𝑑]
kesmalar nuqtalari orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.