Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини ривожлантириш вазирлиги муҳаммад ал-хоразмий номидаги

 

---

8 
FRAKTAL O‘LCHOV TUSHUNCHASI 
Sh.A. Anarova (professor, Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU) 
Z.E. Ibrohimova (Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU huzuridagi AKT ilmiy-
innovatsion markazi doktoranti) 
Fraktalning ta'riflaridan biri uning o‘lchovlari topologik o‘lchovidan qat’iy kam 
bo‘lishi kerakligidir. Topologik o‘lchov tushunchasini rus olimlari P.S. Urison va P.S. 
Aleksandrovlar aniqlagan. Klassik geometriyaning dastlabki tushunchalaridan kelib 
chiqib, tekis shakllar ikki o‘lchovli, jismlar uch o‘lchovli bo‘lib, faqat geometrik 
jismlarni gradatsiya qilish uchun ishlatiladi. Chunki topologik o‘lchov - bu butun son, 
fraktalning o‘lchovi esa undan qatiyan kam, keyin fraktalning o‘lchovi kasr son qiymat 
kattalik.
Fraktal o‘lchov (Xausdorf-Bezikovich o‘lchovi) raqam koordinata tekisligini 
qanchalik zich to‘ldirganligini tavsiflaydi. Klassik fraktallar uchun fraktal o‘lchov 
ob’ektni qoplash yo‘li bilan aniqlanadi, uning o‘lchovlari oldindan belgilangan 
geometrik 

ko‘rsatkichlar bilan baholanadi. Printsipial jihatdan har qanday 
geometrik ob’ektlar o‘lchov sifatida ishlatilishi mumkin, ammo odatda o‘lchovli 
jismlar uchun kublar va tekislik shakllari uchun kvadratlar o‘lchov sifatida ishlatiladi: 
1 - rasm. Fraktal o‘lchovlarni aniqlash 
( )
N

- 

kattalikdagi kvadratlarning minimal soni bo‘lsin, ular birgalikda tahlil 
qilingan fraktalni to‘liq qoplaydi, keyin fraktal o‘lchov quyidagicha aniqlanadi: 
0
ln( ( ))
lim
.
1
ln( )
N
D















Real ob’ektning fraktal o‘lchovlarini profil qoplamasi yordamida aniqlashning bir 
qator usullari mavjud. Ularning orasida eng keng tarqalgani katakcha usuli. Uning 
algoritmi quyidagicha:
1)
Dastlab, tekislikdagi fraktal ob’ektni keyingi ishlov berish uchun qulay shaklga 
o‘tkazish kerak. Bunday o‘zgartirish uchun eng mos protsedura - bu ob’ektni raster 
koordinatalar panjarasi bilan qoplash orqali ikkilik balandlik xaritasiga talqin qilishdir; 

---

9 
2-rasm. Interpretatsiya jarayoni 
1)
Keyinchalik, katakchaning maksimal kattaligi aniqlanadi 
max
l
l

, u fraktal 
o‘lchovini aniqlash kerak bo‘lgan ob’ektni qoplaydi; 
Katakchaning maksimal kattaligini aniqlash uchun empirik munosabatlar 
o‘rnatamiz:
max
10
R
l

, 
Bu yerda 
max
min
R
y
y


- funksiya qiymatlari oralig‘i. 
2)
Har bir katakdagi birliklar soni 
( )
N l
hisoblanadi.
3)
Katakchaning kattaligi kichrayadi:
1
l
l
 
. 
4)
1
l

bo‘lsa, 
( )
N l
va 
l
qiymatlari logarifmlanib,
lg( ( ))
(lg( ))
N l
f
l

funksiya 
grafigi tuziladi. 
5)
Funksiya grafigidan eng kichik qiyalik burchagi kvadratlar usuli orqali 
chiziqli yaqinlashish yordamida topiladi. Ushbu burchakning tangensi fraktal 
o‘lchovdir. 
Grafik jihatdan fraktal o‘lchovni aniqlashning blok sxemasi quyidagicha:
3-rasm - Fraktal o‘lchovni katakcha usul bilan aniqlashning blok sxemasi 

---

10 
Mahalliy va xorijiy olimlarning tadqiqot natijalariga ko‘ra ob’ektni qoplash orqali 
fraktal o‘lchovini aniqlash faqat oddiy fraktallar uchun aniq natija beradi va tasodifiy 
fraktallar uchun o‘lchovlarni aniqlashning bu usuli samarasizroqdir. Bundan tashqari, 
qoplash orqali fraktal o‘lchovni aniqlash usuli yana bir muhim kamchilikka ega hisob-
kitoblarning natijasi dastlabki katakcha o‘lchovining qiymatiga bog‘liq. Masalan, eng 
katta katakcha o‘lchovning har xil qiymatlari uchun dasturiy vosita yordamida fraktal 
o‘lchov hisoblab chiqilgan. Hisob-kitoblar natijasi quyidagicha: 
Endi, og‘ish foizi hisoblanadi: 
1.854 1.22
35%
1.22

 

. 
Shuningdek, 
max
l
ning nisbatan kichik tebranishlari bilan fraktal o‘lchov 
qiymatlari sezilarli og‘ishi. 
Fraktallarning tasodifiy o‘lchovlarini aniqlash uchun fraktal o‘lchovlarni 
taxminiy baholash usullari ishlab chiqilgan, ularning asosiylari quvvat spektri va Xerst 
ko‘rsatkichi yordamida o‘lchovlarni aniqlashdir. 
Ko‘p tadqiqotlar fraktal tasvirlarning quvvat spektri funksiyasi chastotaga teskari 
bog‘liqligini ko‘rsatdi:
1
( )