|
Robototexnika
– har qanday bola uchun eng yangi va istiqbolli mashg‘ulotlaridan
biri hisoblanadi. Ushbu kursda o‘quvchilarga robotlarni va boshqa obyektlarni
qurish va yaratish to‘g‘risidagi bilimlar beriladi. Bu Internet-texnologiyalari
yo‘nalishidagi sohadir, va buning ortida bizning kelajagimiz turganini ta’kidlab
o‘tishning hojati bo‘lmasa kerak. Farzandingizni robototexnika kurslariga yozdirib,
siz nafaqat uning rivojlanishi, balki kelajagi ham barqaror bo‘lishini ta’minlaysiz.
Bugungi kunda robototexnika tobora kattaroq sohalarni zabt etmoqda va tobora
inson hayotining turli sohalariga joriy etilmoqda. Agar ilgari robotlar odam rolini
ishlab chiqargan bo‘lsa, uni fabrikalarda almashtirib, ko‘pincha konveyer ishlab
chiqarishda, masalan, avtoulovlarni ishlab chiqarishda bir xil harakatlarni talab
qiladigan bo‘lsa, endi robotlar odamlarga shoshilinch vazifalarni hal qilishga
yordam beradigan vaqt keldi. vaqtimiz va harakatlarimizni tejashga yordam bering.
Kundalik hayotida odamga yordam berish uchun ishlab chiqilgan uy robotlari
tobora ommalashib bormoqda va bu ajablanarli emas, chunki robotlar har yili
ko‘payib bormoqda. Bugungi kunda u changyutgichlar, maysazor mashinalari,
deraza yuvish mashinalari, hovuz tozalagichlar va hatto qorni tozalash robotlarini
o‘z ichiga oladi.
Foydanilgan manbalar:
https://eduportal.uz/
http://ziyonet.uz/
http://marifat.uz/
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ
Тургинов Азизджан Мамасолиевич,
Мамасолиев Акмалжон Азизжон ўғли*
- Кокандский ГПИ
1. Введение.
Известно, что в работе E.Del Vecchio дана методика
построение
фундаментальных
решений
уравнение
с
кратными
характеристика-ми и в качестве приложение построена фундаментальные
решение уравнений (см.[1])
245
3
3
= 0,
u
u
Lu
t
x
(1)
3
2
3
2
= 0.
u
u
Lu
x
t
(2)
Далее, L.Cattabriga развивая работу E.Del Vecchio 1961 году исследовал
свойства потенциалов фундаментальных решений уравнения (1), т.е.
построил теории потенциалов фундаментальных решений уравнения (см.[2]).
Дальнейшем исследователями была рассмотрено ряд краевых задач для
уравнение (1) с локальными и нелокальными граничными условиями,
например, (см.[2]-[5]).
В данной работе рассматривается следующая задача:
Требуется найти функцию ( , )
u
u x t
K
, которое является регулярным
решением уравнение
3
3
= 0.
u
u
Lu
t
x
(3)
в области
= {( , ) : 0 <
< 1, 0 <
}
x t
x
t
T
и удовлетворяет условиям
( ,0) =
( , ),
=
,
u x
u x T
const
(4)
1
2
(0, ) =
( ),
(0, ) =
( ),
(1, ) =
( ).
x
x
u
t
t
u
t
t
u
t
t
(5)
Здесь
3,1
2,0
,
,
= { ( , ) : ( , )
( )
( ),
( )}.
u
x t
x t
xt
K
u x t
u x t
C
C
u
C
Известно, что фундаментальные решения уравнение (2) имеет вид (см.
[2]).
1/3
1/3
(
;
) = (
)
,
,
> ;
(
)
x
U x
t
t
f
x
t
t
(6)
1/3
1/3
(
;
) = (
)
,
> ,
> .
(
)
x
V x
t
t
x
t
t
(7)
Здесь
3
0
( ) = cos
,
<
<
,
f z
z d
z
3
3
0
( ) = (exp
sin
)
, > 0,
z
z
z d
z
1/3
= (
)(
)
.
z
x
t
Для функции (
;
),
(
;
),
( ),
( )
U x
t
V x
t
f z
z
справедливы
следующие соотношения
1
1
( )
( ) = 0,
( )
( ) = 0,
3
3
f
z
zf z
z
z
z
(8)
0
0
0
2
( ) = ,
( ) =
,
( ) =
,
( ) = 0,
3
3
f z
f z
f z
z
(9)
246
( , )
(
0, )
(
;
) ( , )
=
( ),
lim
3
t
x t
a
t
U
x
a t
d
t
(10)
( , )
(
0, )
2
(
;
) ( , )
=
( ),
lim
3
t
x t
a
t
U
x
a t
d
t
(11)
( , )
(
0, )
(
;
) ( , )
= 0,
lim
t
x t
a
t
V
x
a t
d
(12)
2
1
3/2
4
2
( )
sin
,
,
3
n
n
n
f
z
c z
z
z
:
(13)
2
1
3/2
4
2
( )
sin
,
,
3
n
n
n
z
c z
z
z
:
(14)
2
1
3/2
4
2
( )
| |
exp
| |
,
,
3
n
n
n
f
z
c
z
z
z
:
(15)
2. Основные результаты
Теорема 1.
Пусть
2
exp{
}.
T
Тогда задача
(3)-(5)
не имеет более
одного решение.
Доказательство.
Пусть задача (3)-(5) имеет два решения:
1
( , ),
u x t
2
( , ).
u x t
Тогда пологая
1
2
( , ) =
( , )
( , )
v x t
u x t
u x t
получим следующую задачу
относительно функцию ( , )
v x t
3
3
= 0.
v
v
Lv
t
x
(16)
( ,0) =
( , ),
v x
v x T
(17)
(0, ) = 0,
(0, ) = 0,
(1, ) = 0.
x
x
v
t
v
t
v
t
(18)
Рассмотрим тождество
1
0 0
( )
exp{ }
= 0.
T
xt
L v v
t dxdt
(19)
Интегрируя по частям, учитывая однородные граничные условия (17), (18),
имеем
1
2
2
0 0
0
1
1
( , )exp{ }
(1, )exp{ }
2
2
T
T
xt
x
v
x t
t dxdt
v
t
t dt
1
2
2
0
1
( , ){exp{
}
}
= 0
2
xx
v
x T
T
dx
Отсюда,
( , ) = 0
xx
v
x t
в
,
( , ) = 0
xx
v
x T
в
[0,1],
x
(1, ) = 0
t
v
t
в
[0, ].
t
T
Пусть
2
< exp{
}.
T
Тогда
из
этих
вводов
получаем:
( , ) = 0
( , ) =
.
xx
x
v
x T
v x T
const
Так как
(0, ) =
(1, ) = 0
(0,0) =
(0, ) = 0
x
x
x
x
v
t
v
t
v
v
T
, то
( , ) =
= 0
x
v x T
const
при
[0,1].
x
247
Далее, имеем
( , ) = 0
( , ) =
( ,0) =
.
x
v x T
v x T
const
v x
const
Так как
(0, ) = 0
(0,0) = 0
v
t
v
, то ( ,0) =
= 0
v x
const
при
[0,1].
x
В силу того, что
(1, ) = 0
(1, ) =
t
v
t
v
t
const
и (0,0) = 0
v
мы имеем (1, ) = 0.
v
t
Тогда мы получаем следующую краевую задачу относительно
функцию ( , )
v x t
3
3
= 0.
v
v
Lv
t
x
( ,0) = 0,
(0, ) = 0,
(0, ) = 0,
(1, ) = 0.
x
v x
v
t
v
t
v
t
В силу работу [2] это задача имеет единственное решение.
Теперь пусть
2
= exp{
}.
T
Тогда
1
= 0
( , ) =
( )
xx
x
v
v x t
t
при
[0, ].
t
T
Так как
(0, ) =
(1, ) = 0
x
x
v
t
v
t
, при
[0, ],
t
T
то
1
( ) = 0
t
при
[0, ].
t
T
Далее,
2
= 0
( , ) =
( )
x
v
v x t
t
при
[0, ].
t
T
Так как (0, ) = 0
v
t
, при
[0, ],
t
T
то
2
( ) = 0
t
при
[0, ].
t
T
Тогда в силу непрерывности
( , ) = 0
v x t
в .
Теорема 2.
Пусть
1
1
2
2
1
( )
([0, ]),
( )
([0, ]),
( )
([0, ]).
t
C
T
t
C
T
t
C
T
Тогда существует решение задачи
(3)-(5).
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную задачу:
Найти функцию ( , )
u
u x t
K
, которое является регулярным решением
уравнение
3
3
= 0.
u
u
Lu
t
x
(20)
в области
= {( , ) : 0 <
< 1, 0 <
}
x t
x
t
T
и удовлетворяет условиям
( ,0) = ( ),
u x
x
(21)
1
2
(0, ) =
( ),
(0, ) =
( ),
(1, ) =
( ).
x
u
t
t
u
t
t
u
t
t
(22)
В силу работы [3] решения задачи (23)-(25) будет в следующем виде
0
( , ) =
(
1;
) ( )
t
u x t
G x
t
d
1
2
0
0
(
0;
) ( )
(
0;
)
( )
t
T
G
x
t
d
G x
t
d
1
0
(
;
0) ( )
,
G x
t
d
(23)
где
(
;
) =
(
;
)
(
;
),
G x
t
U x
t
W x
t
функция (
;
)
W x
t
является решением следующей задачи
3
3
(
)
= 0,
W
W
M W
t
x
=1
=1
=1
=1
=0
=0
|
=
|
,
|
=
|
,
|
=
|
,
U
W
U
W
U
W
248
=
|
= 0.
t
W
Обозначим ( , ) = ( ).
u x T
x
Тогда переходя к пределу
t
T
из (26)
получим
0
( ) =
(
1;
) ( )
t
x
G x
T
d
1
2
0
0
(
0;
) ( )
(
0;
)
( )
t
T
G
x
T
d
G x
T
d
1
0
{ (
;
0) ( )
,
G x
T
d
(24)
Итак мы получили интегральная уравнения типа Фредьголма
относительно функции ( )
x
1
0
( ) =
( , ) ( )
( ),
x
K x
d
F x
(25)
где
1/4
(
;
0) |
( , ) |<
,
|
|
C
G x
T
K x
x
1
0
0
(
1;
) ( )
(
0;
) ( )
t
t
G x
T
d
G
x
T
d
3
2
0
(
0;
)
( )
( )
([0,1]).
T
G x
T
d
F x
C
В силу единственности решение задачи (3)-(5) интегральная уравнения
(25) имеет единственное решение.
Do'stlaringiz bilan baham: |
