Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

 
3-TA’RIF:
 
(–
R
, 
R
) darajali qatorning 
yaqinlashish oralig‘i
, 
R
≥0 esa–
yaqinlashish radiusi
dеb ataladi. 

---

Izoh: 
Yaqinlashish oralig‘ining chegaralarida, ya’ni 
x=±R
nuqtalarda (6) darajali 
qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin. 
Ba’zi darajali qatorlarning (oldin ko‘rilgan (
d
) qatorga qarang) yaqinlashish sohasi 
faqat bitta 
x
=0 nuqtadan iborat (
R=
0), ba’zilari esa barcha nuqtalarda (
R=
∞) 
yaqinlashuvchi bo‘lishi mumkin.
 
4.3.
 
Yaqinlashish radiusi uchun Dalamber formulasi.
Endi (6) darajali 
qatorning 
R
yaqinlashish radiusini topish masalasi bilan shug‘ullanamiz. 
3-TEOREMA (Dalamber formulasi):
Agar (6) darajali qator uchun
0
lim
1





d
a
a
n
n
n
limit mavjud va chekli bo‘lsa, unda bu qatorning yaqinlashish radiusi 
R=d
bo‘ladi. 
Isbot: 
(6) darajali qator hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan ushbu qatorni 
qaraymiz: 












0
2
2
1
0
...
...
k
k
k
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
a
. (10) 
Bu qatorni 
x
o‘zgaruvchining har bir qiymatida umumiy hadi
u
n
=
|
a
n
|∙|
x
|
n
, 
n
=0,1,2, ∙∙∙ , 
bo‘lgan musbat hadli sonli qator deb qarash mumkin. (10) qatorning yaqinlashishini 
Dalamber alomati yordamida tekshiramiz. Teorema shartiga ko‘ra 
1
1
1
1
1
1
1
lim
lim
lim
lim





























d
x
a
a
x
a
a
x
x
a
x
a
u
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
. 
Bu yerdan, Dalamber alomatiga ko‘ra, (10) qator |
x
|∙
d
-1
<1 =>|
x
|<
d
bo‘lganda 
yaqinlashuvchi, |
x
|∙
d
-1
>1 =>|
x
|>
d
holda esa uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Shu sababli, taqqoslash alomatiga asosan, |
x
|<
d
bo‘lganda (6) darajali qator absolut 
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar |
x
|>
d
bo‘lsa, (10) qator uzoqlashuvchi va
bundan tashqari (Dalamber alomati isbotiga qarang) uning umumiy hadi uchun
0
lim
lim






n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bu yerdan (6) darajali qatorning umumiy hadi uchun 
0
lim



n
n
n
x
a
ekanligi kelib chiqadi. Demak, |
x
|>
d
holda (6) uchun qator yaqinlashuvining zaruriy 
sharti bajarilmaydi va shu sababli u uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
Demak, (6) darajali qator |
x
|<
d
bo‘lganda yaqinlashuvchi, |
x
|>
d
bo‘lganda esa –
uzoqlashuvchi. Bu yerdan, 3-ta’rifga asosan, bu qatorning yaqinlashish radiusi 
R
=
d
ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. 
Shunday qilib (6) darajali qator yaqinlashish radiusi
1
lim




n
n
n
a
a
R
(11) 
Dalamber formulasi 
bilan topilishi mumkin. 
Izoh:
Agar teorema shartidagi limit qiymati
 
d
=
0
 
yoki 
d
=
∞ bo‘lsa, unda mos 
ravishda 
R
=
0 yoki
R
=
∞ bo‘ladi. Bu esa (6) darajali qator faqat 
x=
0 nuqtada yoki 
butun (–∞, ∞) oralikda yaqinlashuvchi ekanligini ifodalaydi. 
Misol sifatida 

---















1
1
1
4
3
2
)
1
(
)
1
(
4
3
2
k
k
k
n
n
k
x
n
x
x
x
x
x


 
darajali qatorning yaqinlashish radiusini topamiz. Bu yerda
a
n
=(–1)
n
–1
/
n 
,
a
n+
1
=(–1)
n
/(
n+
1) 
bo‘lgani uchun 
1
)
1
1
(
lim
1
lim
lim
1













n
n
n
a
a
R
n
n
n
n
n
. 
Demak bu qatorning yaqinlashish oralig‘i (–1, 1) bo‘ladi.
Bu qator yaqinlashuvini 
x
=±1 chegaraviy nuqtalarda tekshiramiz. Agar 
x
=–1 
bo‘lsa, unda 
)
1
3
1
2
1
1
(








n
uzoqlashuvchi qatorga ega bo‘lamiz , chunki qavs ichidagi garmonik qator 
uzoqlashuvchidir. 
x
=1 bo‘lsa, 










n
n
1
)
1
(
4
1
3
1
2
1
1
1
sonli qatorga ega bo‘lamiz. Bu qatorni, Leybnits alomatiga ko‘ra, yaqinlashuvchi 
ekanligini oldin ko‘rib o‘tgan edik. Demak,
x
=1 nuqtada berilgan darajali qator 
yaqinlashuvchi. Shunday qilib, qaralayotgan darajali qatorning yaqinlashish sohasi (–
1, 1] yarim oraliqdan iborat.
Darajali qatorlar. Abel teoremasi. Yaqinlashish radiusi. 
Yaqinlashuvchi darajali qatorlarning xossalari. 
Qatorlarni differentsiallash va integrallash. 
Yaqinlashish radiusi uchun Koshi formulasi. 
Darajali qatorning yaqinlashish 
radiusini aniqlash uchun yana bir formulani keltiramiz. 
4-TEOREMA (Koshi formulasi):
Agar (6) darajali qator uchun 
k
a
n
n
n



lim
limit mavjud bo‘lsa, unda bu qatorning yaqinlashish radiusi
n
n
n
a
k
R




lim
1
1
(12) 
Koshi formulasi
bilan topilishi mumkin. 
Bu teorema ham oldingi teorema singari isbotlanadi va shu sababli uning ustida 
to‘xtalib o‘tirmaymiz. 
(12) formula yordamida









n
n
x
n
n
x
x
)
5
6
1
3
(
)
15
7
(
11
4
1
2
2
darajali qatorning yaqinlashish radiusini topamiz: 
2
1
)
/
5
(
6
)
/
1
(
3
lim
5
6
1
3
lim
)
5
6
1
3
(
lim
















n
n
n
n
n
n
k
n
n
n
n
n
. 

---

Demak 
R
=2 va darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i (–2, 2) bo‘ladi. Bu qator 
x
=±2 chegaraviy nuqtalarda uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish qiyin emas va buni 
o‘quvchiga mustaqil ish sifatida qoldiramiz.
(12) formula tatbig‘iga yana bir misol sifatida 







n
n
x
n
x
x
x
3
3
2
2
3
2
darajali qatorni qaraymiz: 
0
lim
1
lim
1







n
n
R
n
n
n
n
. 
Demak, bu darajali qator faqat 
x=
0 nuqtada yaqinlashuvchi. 
4.4.
 
Darajali qator xossalari.
(6) darajali qator hadlari 
u
n
(
x
)=
a
n
x
n
ko‘rinishdagi eng sodda, ya’ni natural ko‘rsatkichli darajali funksiyalardan, 
S
n
(
x
) 
xususiy yig‘indilari esa 
n-
darajali ko‘phadlar ko‘rinishidagi nisbatan sodda 
funksiyalardan iborat funksional qatordir. Shu sababli darajali qatorlar, boshqa 
funksional qatorlardan farqli ravishda, ko‘phadlarga xos bir qator xossalarga ega 
bo‘ladi. Bu xossalarni quyidagi teoremalar ko‘rinishida isbotsiz keltiramiz. 
5-TEOREMA:
Agar darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i (
 – R
, 
R
) bo‘lsa, 
uning yig‘indisini ifodalovchi 
S
(
x
) funksiya (
 – R
, 
R
) oraliq ichida joylashgan har 
qanday [
a
, 
b
] kesmada uzluksiz bo‘ladi .
Masalan, geometrik progressiya yordamida 












0
3
2
)
1
(
)
1
(
1
k
k
k
n
n
x
x
x
x
x


(13) 
darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i (
–
1, 1) va yig‘indisi 
S
(
x
)=1/(1+
x
) 
funksiyadan iborat ekanligini ko‘rsatish mumkin va buni o‘quvchiga mustaqil ish 
sifatida qoldiramiz. Bu funksiya (
–
1, 1) oraliqda uzluksizligi ravshandir. 
6-TEOREMA:
Darajali qatorni uning (
 – R
, 
R
) yaqinlashish oralig‘i ichida 
joylashgan har qanday [
a
, 
b
] kesma bo‘yicha hadlab integrallash mumkin, ya’ni 













,
)
,
(
,
...
...
)
(
0
2
2
1
0
R
R
x
x
a
x
a
x
a
x
a
a
x
S
k
k
k
n
n
 















0
2
2
1
0
...
...
)
(
k
b
a
k
k
b
a
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
a
dx
x
a
dx
x
a
xdx
a
dx
a
dx
x
S
. (14)
 
Masalan, (13) darajali qatorni 
)
1
,
1
(
]
,
0
[


t
kesma bo‘yicha hadlab integrallab, 
)
1
,
1
(
,
1
)
1
(
)
1
ln(
)
1
(
1
0
1
0 0
0











 






t
k
t
t
dx
x
x
dx
k
k
k
k
t
k
k
t
, 
natijani olamiz. Oxirgi tenglikda 
t
o‘zgaruvchini 
x 
bilan almashtirib, yangi 
,
1
1
,
1
)
1
(
4
3
2
)
1
ln(
1
4
3
2














x
n
x
x
x
x
x
x
n
n


(15) 
darajali qatorga ega bo‘lamiz. Bunda 
x=
–1 holda uzoqlashuvchi garmonik qator, 
x=
1 
holda esa Leybnits alomati shartlarini qanoatlantiruvchi va shu sababli 
yaqinlashuvchi bo‘lgan ishorasi navbatlanuvchi sonli qator hosil bo‘ladi. Demak, 
(15) darajali qatorning yaqinlashish sohasi ( –1, 1] bo‘lib, undan
x
=1 holda















1
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
4
1
3
1
2
1
1
2
ln
k
k
n
k
n


(16) 
tenglikni olamiz. 

---

7-TEOREMA:
Yaqinlashish oralig‘i (
 – R
, 
R
) bo‘lgan darajali qatorni
hadlab differensiallash mumkin va bunda hosil bo‘ladigan darajali qatorning 
yaqinlashish sohasi yana (
 – R
, 
R
) oraliqdan iborat bo‘ladi, ya’ni 













,
)
,
(
,
)
(
0
2
2
1
0
R
R
x
x
a
x
a
x
a
x
a
a
x
S
k
k
k
n
n


(17) 
)
,
(
,
3
2
)
(
0
1
1
2
3
2
1
R
R
x
x
ka
x
na
x
a
x
a
a
x
S
k
k
k
n
n


















. (18)
 
Masalan, (13) darajali qatorni hadlab differensiallab va hosil bo‘lgan tenglikni (–
1) soniga ko‘paytirib, ushbu darajali qatorga kelamiz: 
1
1
,
)
1
(
)
1
(
3
2
1
)
1
(
1
1
1
1
1
1
2
2




















x
kx
nx
x
x
x
k
k
k
n
n


. 
(18) darajali qatorga yana 7-teoremani qo‘llash mumkin va bu jarayonni istalgan 
marta takrorlash mumkin. Bundan esa ushbu teorema o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:
8-TEOREMA:
Agar (17) darajali qator (
 – R
, 
R
) oraliqda yaqinlashuvchi 
bo‘lsa, uning yig‘indisini ifodalovchi 
S
(
x
) funksiya bu oraliqda ixtiyoriy marta 
differensiallanuvchi bo‘ladi. Bunda 
S
(
m
)
(
x
) , 
m
=1,2,3, ∙∙∙ , hosilalar (17) darajali 
qatorni ketma-ket 
m
marta hadlab differensiallash orqali topiladi. Bunda hosil 
bo‘ladigan barcha darajali qatorlarning yaqinlashish sohasi (
 – R
, 
R
) oraliqdan iborat 
bo‘ladi .
Ko‘rib o‘tilgan









0
2
2
1
0
...
...
k
k
k
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
a
(6) 
darajali qator bilan birga 













0
2
2
1
0
)
(
...
)
(
...
)
(
)
(
k
k
k
n
n
c
x
a
c
x
a
c
x
a
c
x
a
a
(19) 
ham 
darajali qator
deb ataladi. Bunda 
c=
0 bo‘lsa, (6) darajali qator hosil bo‘ladi. 
(13) qator 
x–c=X
belgilash orqali (6) ko‘rinishdagi darajali qatorga keltiriladi. Bu 
holda ham 
R
yaqinlashish radiusi (11) yoki (12) formula orqali topilib, (13) darajali 
qatorning yaqinlashish oralig‘i
x=c
nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lgan (
c – R
, 
c+R
) 
oraliqdan iborat bo‘ladi. Masalan, 





0
3
)
4
(
1
1
sin
n
n
x
n
darajali qatorning yaqinlashish radiusini (11) Dalamber alomati yordamida topamiz: 










2
1
sin
1
1
sin
lim
lim
3
3
1
n
n
a
a
R
n
n
n
n
1
1
2
lim
2
1
sin
2
1
lim
1
1
1
1
sin
lim
3
3
3










































n
n
n
n
n
n
n
n
n
. 

---

Bu yerda 
1
/
)
(sin
lim
0


x
x
x
ko‘rinishdagi I ajoyib limitdan (VII bob,§3 ga qarang) 
foydalanildi. Demak, berilgan darajali qatorda 
c
=4 bo‘lgani uchun, uning 
yaqinlashish oralig‘i (
c – R
, 
c+R
)=(3, 5) bo‘ladi. 
Bundan tashqari (19) darajali qator uchun ham 5-8 teoremalar o‘rinli bo‘ladi. 
XULOSA 
Sonli qatorlar tushunchasini bevosita umumlashtirish orqali funksional qator 
aniqlanadi. Bu qatorning hadlari funksiyalardan iborat bo‘ladi. Funksional qatorlar 
ham matematikaning nazariy va amaliy masalalarini qarashda hosil bo‘ladi.
Argumentning har bir mumkin bo‘lgan qiymatida funksional qator sonli qatorga 
aylanadi. Bu sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, funksional qator argumentning bu 
qiymatida yaqinlashuvchi deyiladi. Bunday nuqtalar to‘plami funksional qatorning 
yaqinlashish sohasi deyiladi. Yaqinlashish sohasida funksional qatorning yig‘indisi 
biror funksiyani ifodalaydi. 
Funksional qatorlarning muhim bir xususiy holi bo‘lib darajali qatorlar 
hisoblanadi. Bu qator argumentning natural darajalaridan tuzilgan bo‘ladi. Abel 
teoremasidan darajali qatorning yaqinlashish sohasi (–
R
,
 R
) ko‘rinishdagi simmetrik 
oraliqdan iborat ekanligi kelib chiqadi. Uning 
x
=±
R
chegaralarida qator 
yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin. Bunda 
R
≥0 bo‘lib, u 
darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi. Berilgan darajali qatorning 
yaqinlashish radiusi Dalamber yoki Koshi alomatlari yordamida aniqlanishi mumkin.
Darajali qatorlarning muhim xossalari shundan iboratki, ularni yaqinlashish 
oralig‘ida hadlab differensiallash va integrallash mumkin. Bundan darajali qatorning 
yig‘indisi bo‘lmish funksiya uchun ixtiyoriy tartibli hosila mavjudligi kelib chiqadi.