|
ildizlarning taqribiy qiymatini berilgan ε>0 aniqlikda topish uchun binomial
qatorlardan foydalaniladi. Buni
6
68
ildiz qiymatini ε=0.0001 aniqlikda
hisoblash misolida namoyish etamiz. Buning uchun dastlab
6
68
ildizni bizga
qulay ko‘rinishda quyidagicha ifodalaymiz:
6
/
1
6
6
6
6
)
16
1
1
(
2
16
1
1
2
)
16
1
1
(
64
4
64
68
.
Bu yerdan ko‘rinadiki, berilgan ildizni hisoblash uchun binomial qatorda α=1/6
,
x
=1/16 deb olishimiz kerak. Bu holda ushbu ishorasi navbatlanuvchi sonli
qatorga ega bo‘lamiz:
]
16
1
!
)
1
6
1
(
)
1
6
1
(
6
1
16
1
6
1
1
[
2
)
16
1
1
(
2
68
6
/
1
6
n
n
n
.
Bu qator hadlarini 5 xona aniqlikda hisoblab,
02031
.
2
]
000010
.
0
000271
.
0
010417
.
0
1
[
2
)
16
1
1
(
2
68
6
/
1
6
taqribiy tenglikni olamiz. Bunda yo‘l qo‘yilgan xatolik, Leybnits alomatidan
kelib chiqadigan natijaga asosan, 0.00002 sonidan katta emas va shu sababli
ε=0.0001 aniqlik bilan
0203
.
2
68
6
bo‘ladi.
6.2.
Funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblash.
Makloren qatorlari
yordamida berilgan
y=f
(
x
) funksiyaning biror
x=x
0
nuqtadagi taqribiy qiymatini talab
etilgan ε>0 aniqlikda hisoblash mumkin. Buning uchun
y=f
(
x
) funksiyaning
Makloren qatori
x=x
0
nuqtani o‘z ichiga oluvchi biror (–
R
,
R
) oraliqda
yaqinlashuvchi va bu yerda uning qoldiq hadi
R
n
(
x
) uchun (6) shart bajariladi, ya’ni
0
)
(
lim
x
R
n
n
deb olamiz. Bu holda
)
,
(
,
!
)
0
(
)
(
0
)
(
R
R
x
x
k
f
x
f
k
k
k
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikdan foydalanib
)
,
(
,
!
)
0
(
)
(
)
(
0
0
0
)
(
0
0
R
R
x
x
k
f
x
S
x
f
n
k
k
k
n
,
taqribiy formulani hosil etamiz. Bunda
n
qiymati, umumiy holda,
)
,
0
(
,
)!
1
(
)
(
)
(
0
1
0
)
1
(
0
x
c
x
n
c
f
x
R
n
n
n
,
tengsizlikdan topiladi.
Bunga misol sifatida ixtiyoriy natural sonning logarifmini hisoblash
formulasini topish masalasini ko‘ramiz. Bu maqsadda oldin ko‘rilgan
1
1
1
4
3
2
)
1
(
)
1
(
...
4
3
2
)
1
ln(
k
k
k
n
n
k
x
n
x
x
x
x
x
x
(1)
Makloren qatorida
x
o‘zgaruvchini –
x
bilan almashtirib,
)
1
,
1
(
,
1
1
...
4
3
2
)
1
ln(
0
1
1
4
3
2
x
k
x
n
x
x
x
x
x
x
k
k
n
,
(2)
Makloren qatoriga ega bo‘lamiz. (1) va (2) Makloren qatorlari yordamida faqat (0,2]
yarim oraliqda yotgan sonlarni logarifmini hisoblash mumkinligini ta’kidlab o‘tamiz.
Bundan tashqari (1) yoki (2) darajali qatorlardan mos ravishda
x
=1 yoki
x
=–1
chegaraviy nuqtalarda hosil bo‘ladigan sonli qatorlar o‘zlarining
S
=ln2 yig‘indisiga
juda sekin yaqinlashadi. Masalan, (1) darajali qatorda
x
=1 deb hosil qilinadigan sonli
qator yordamida ln2 qiymatini 0.001 aniqlikda hisoblash uchun bu qatordagi kamida
1000 ta qo‘shiluvchi yig‘indisini topish kerak.
Shu sababli bu yerda boshqacha yo‘l tutamiz. (1) va (2) Makloren qatorlarini
hama-had ayirib, ushbu natijaga kelamiz:
1
2
7
5
3
2
1
1
ln
)
1
ln(
)
1
ln(
1
2
7
5
3
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
. (3)
Bu yеrda
x
=1/(2
m
+1) ,
m
=1,2,3,∙∙∙ , holda 0<
x
<1 va
m
m
m
m
x
x
1
2
)
1
(
2
1
1
bo‘ladi. Bu holda (3) Makloren qatoridan ushbu sonli qatorga ega bo‘lamiz:
1
2
5
3
)
1
2
)(
1
2
(
1
)
1
2
(
5
1
)
1
2
(
3
1
1
2
1
2
1
ln
n
m
n
m
m
m
m
m
.
Bu yerdan natural sonlarning logarifmlarini hisoblash uchun quyidagi rekurrent
formulaga ega bo‘lamiz:
,
3
,
2
,
1
,
)
1
2
)(
1
2
(
1
2
ln
)
1
ln(
0
1
2
m
m
k
m
m
k
k
. (4)
Masalan, bu formulada
m
=1 dеb olsak
1
2
5
3
3
)
1
2
(
1
...
3
5
1
3
3
1
3
1
1
2
2
ln
n
n
(5)
tenglik hosil bo‘ladi. Bunda ln2 qiymatini 0.001 aniqlikda hisoblash uchun nechta
qo‘shiluvchini olish kerakligini aniqlash maqsadida (5) musbat hadli sonli qatorning
R
n
qoldiq hadini baholaymiz:
5
2
3
2
1
2
3
)
5
2
(
1
3
)
3
2
(
1
3
)
1
2
(
1
2
n
n
n
n
n
n
n
R
5
2
3
2
1
2
3
)
1
2
(
1
3
)
1
2
(
1
3
)
1
2
(
1
2
n
n
n
n
n
n
1
2
2
1
2
4
2
1
2
3
)
1
2
(
4
1
3
1
1
3
)
1
2
(
2
]
3
1
3
1
1
[
3
)
1
2
(
2
n
n
n
n
n
n
.
Demak, (28) qatorning qoldiq hadi uchun
1
2
3
)
1
2
(
4
1
n
n
n
R
(6)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Undan
,
001
.
0
0018
.
0
540
1
,
001
.
0
02778
.
0
36
1
2
1
R
R
001
.
0
0001
.
0
6804
1
3
R
,
ya’ni ln2 qiymatini 0.001 aniqlikda hisoblash uchun (5) qatorda atigi uchta
qo‘shiluvchini olish kifoya ekanligini ko‘ramiz. Demak,
...
693004
.
0
3
5
1
3
3
1
3
1
1
2
2
ln
5
3
.
Jadvaldan 5 xona aniqlikda ln2=0.69315 ekanligini ko‘rish mumkin. Bundan
yuqoridagi ln2 uchun taqribiy tenglik uch xona aniqlikda ekanligi kelib chiqadi.
6.3.
Limitlarni hisoblash.
Darajali qatorlarni limitlarni hisoblashga ham
tatbiq etish mumkin. Buni quyidagi ikkita misolda namoyish qilamiz.
1)
x
x
x
x
e
L
x
x
sin
2
2
2
lim
2
0
. Bu limitni hisoblash uchun
f
(
x
)
=
sin
x
va
f
(
x
)
=
e
x
funksiyalarni ularning Makloren qatorlari bilan almashtiramiz:
)
!
7
!
5
!
3
(
2
2
)
!
4
!
3
!
2
1
(
2
lim
7
5
3
2
4
3
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
x
2
!
3
1
!
3
2
!
5
!
3
1
)
!
4
!
3
1
(
2
lim
!
5
!
3
)
!
4
!
3
(
2
lim
2
0
5
3
4
3
0
x
x
x
x
x
x
x
x
.
2)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
x
x
x
1
)
!
4
!
3
!
2
1
(
)
!
6
!
4
!
2
1
(
1
lim
1
cos
1
lim
4
3
2
6
4
2
0
0
1
!
2
1
!
2
1
!
4
!
3
!
2
1
!
6
!
4
!
2
1
lim
!
4
!
3
!
2
!
6
!
4
!
2
lim
2
4
2
0
4
3
2
6
4
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Do'stlaringiz bilan baham: |
