1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

D
O
R
C
A
B
192

---

114
T e o r e m a .
431.
A
nuqtadan aylana markazigacha bo‘lgan masofa radiusdan kichik.
A
nuqta orqali o‘tuvchi ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq berilgan aylanaga nis-
batan kesuvchi bo‘lishini isbot qiling.
432.
ABCD
to‘g‘ri to‘rtburchak berilgan, unda 
AB
= 
16 sm, 
AD
=
12 sm (193-
rasm). 
AC
, 
BC
, 
CD
va 
BD
to‘g‘ri chiziqlardan qaysi biri radiusi 12 sm li
A 
markazli aylanaga urinma bo‘ladi?
Y e c h i l i s h i
.
Aylana bilan faqat ... nuq-
taga ega bo‘lgan ... shu ... urinma deyiladi.
Agar ... markazidan to‘g‘ri chiziqqacha
bo‘lgan masofa aylana ... teng bo‘lsa, to‘g‘-
ri chiziq bilan aylana faqat bitta ... nuqta-
ga ega bo‘ladi. Bu shartlar ... to‘g‘ri chiziq
uchun bajariladi, demak, ... to‘g‘ri chiziq
berilgan ... urinma bo‘ladi.
J a v o b : ... to‘g‘ri chiziq urinma bo‘ladi.
433.
Bir aylanaga o‘tkazilgan 
AB
va 
AC
urinmalar orasidagi 
BAC
burchak
60°, 
BAC
siniq chiziqning uzunligi 22,5 dm. 
B
va 
C
urinish nuqtalari
orasidagi masofani toping.
434.
To‘g‘ri burchakli 
ACB
(
∠
C
= 90°) uchburchakning katetlari 
AC
= 3 sm va
BC
= 4 sm. Markazi 
C
nuqtada bo‘lgan radiusi 2,4 sm ga teng aylana
o‘tkazilgan. Bu aylana bilan 
AB
to‘g‘ri chiziq o‘zaro qanday holatda
bo‘ladi?
435.
O
markazli va radiusi 8 sm bo‘lgan aylanaga 
A
nuqtadan 
AB
urinma o‘t-
kazilgan. 
A
va 
B
nuqtalar orasidagi masofa 16 sm ga teng. 
AOB
bur-
chakni toping.
T a ’ r i f .
Uchi aylanada yotuvchi
,
tomonlari esa shu aylanani kesib
o‘tuvchi burchak
aylanaga ichki chizilgan burchak
deyiladi.
194- rasmda 
ABC
burchak aylanaga ichki chizilgan, 
AnC
yoy shu burchak-
ning ichiga joylashgan. Bunday holda 
ichki chizilgan
ABC
burchak
AnC
yoyga
tiralgan,
deb ham aytiladi.
Aylanaga ichki chizilgan burchak o‘zi tiralgan
yoyning yarmi bilan o‘lchanadi:
∠
∠
∠
∠
∠
ABC
=
»
AC
.
I s b o t .
∠
ABC
– 
O
markazli aylananing 
AC
yoyiga
tiralgan ichki chizilgan burchak bo‘lsin (195- rasm).
Aylana markazining shu ichki chizilgan burchakka
nisbatan joylashishining uch holini ko‘rib chiqamiz.
O
A
n
C
B
194
A
B
C
D
193
3 6- m a v z u .
AYLANAGA ICHKI CHIZILGAN BURCHAK

---

115
1- h o l .
Aylana markazi ichki chizilgan burchakning tomonlaridan biri, ma-
salan
,
BC tomonda yotadi
(195-
a
rasm). 
OA
radiusni o‘tkazamiz va 
AOB
uchbur-
chakni qaraymiz. U teng yonli, chunki 
OA
=
OB
=
R
. Demak, 
∠
OBA
= ∠
OAB
(teng yonli uchburchakning asosidagi burchaklari bo‘lgani uchun). Ammo 
AOC
burchak 
BOA
uchburchakning tashqi burchagidir. Uchburchak tashqi bur-
chagining xossasiga ko‘ra: 
∠
AOC
= ∠
OBA
+ ∠
OAB 
yoki 
∠
AOC
= 
2
∠
ABC
(1).
Ammo 
AOC
– markaziy burchak, uning kattaligi shu burchakka mos 
AC
yoyning
burchak kattaligiga teng (32-mavzu). Bu holda 
AC
yoy yarim aylanadan kichik,
shuning uchun markaziy burchak xossasiga ko‘ra: 
∠
AOC
=
»
AC
(2).
(1) va (2) tengliklardan ega bo‘lamiz: 2
∠
ABC
=
»
AC
, ya’ni 
∠
ABC
=
1
»
AC
.
Teorema 1- hol uchun isbotlandi.
2- h o l .
Aylananing markazi O ichki chizilgan burchak tomonlari orasida
yotadi
. 
BO
nurni o‘tkazamiz, u 
AC
yoyni biror 
D
nuqtada kesadi (195-
b
rasm).
D
nuqta 
AC
yoyni ikkita 
»
AD
va 
»
DC
yoyga bo‘ladi. Demak, isbot qilinganga
ko‘ra (1- hol): 
∠
ABD
=
1
»
AD
va 
∠
DBC
=
1
»
DC
. Bu tengliklarni hadma-had
qo‘shib, hosil qilamiz:
∠
= ∠
+ ∠
= ∪
+ ∪
=
∪
+ ∪
= ∪
1
1
1
1
(
)
.
)*+
)*,
,*+
),
,+
),
,+
)+
3- h o l .
Aylananing markazi O ichki chizilgan burchakdan tashqarida yotadi
.
Bu holning isbotini 195-
d
rasmdan foydalanib, o‘zingiz mustaqil bajaring.
1- n a t i j a .
Bir yoyga tiralgan hamma ichki chizilgan burchaklar o‘zaro
tengdir 
(196-
a
rasm):
∠
B
= ∠
B
1
= ∠
B
2
=
...
=
1
»
AC
.
2- n a t i j a .
Diametrga 
(
yarim aylanaga
)
tiralgan hamma ichki chizilgan bur-
chaklar to‘g‘ri burchakdir 
(196-
b 
rasm):
∠
B
= ∠
B
1
= ∠
B
2
=
...
=
90°.
M a s a l a .
Aylananing radiusiga teng vatar o‘tkazilgan. Shu vatar: 1) aylana
markazidan; 2) berilgan vatar uchlaridan farqli aylananing ixtiyoriy nuqtasidan
qanday burchak ostida ko‘rinadi?
B
A
O
1
2
C
A
D
O
C
B
B
O
A
C D