1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

A
P
D
E
F
B
C
1-§ ga (to‘rt
b
urchaklarga) doir qo‘shimcha mashqlar

---

37
I s b o t
.
Shartga ko‘ra, 
ABCD
parallelogramm bo‘lgani uchun uning
BC
va 
AD
qarama-qarshi tomonlari ... va ..., ya’ni ... || ... va ...
=
... .
EC
=
... 
−
..., 
AF
=
... 
−
... va 
BE
=
DF
ekanligidan, 
EC
=
... bo‘ladi.
Shunday qilib, 
AECF
to‘rtburchakda ikkita qarama-qarshi tomonlar ...
va ... (... || ..., ...
=
...), demak, 
AECF
– ... .
140.
O‘tkir burchagi 
A
bo‘lgan 
ABCD
parallelogramm berilgan. 
B
uchidan
AD
tomonga 
BK
perpendikular o‘tkazilgan, 
AK
=
BK
. 
C
va 
D
burchak-
larni toping.
141.
1) 
ABCD
– to‘g‘ri to‘rtburchak. 
BAC
va 
BDC
burchaklarning bis-
sektrisalari 45° li burchak ostida kesishadi. 
ABCD
– kvadrat ekanini
isbotlang.
2) Agar to‘rtburchakning diagonallari o‘zaro teng bo‘lib, to‘rtburchak-
ning burchaklarini teng ikkiga bo‘lsa, bunday to‘rtburchak kvadrat
bo‘ladi. Shuni isbotlang.
142.
1) B e r i l g a n :
ABCD
– kvadrat, 
AE
=
CF
(72- rasm).
I s b o t q i l i s h k e r a k :
BEDF
– romb ekanligini.
2) Rombning perimetri 16 sm ga, qarama-qarshi tomonlari orasidagi
masofa 2 sm ga teng. Rombning burchaklarini toping.
143.
Agar to‘g‘ri to‘rtburchakning diagonallari to‘g‘ri burchak ostida ke-
sishsa, uning kvadrat ekanini isbotlang.
144.
ABCD
teng yonli trapetsiyada 
BC
=
20 sm, 
AB
=
24 sm va 
∠
D
=
60° bo‘lsa,
uning 
AD
asosini toping.
145.
Teng yonli trapetsiyaning burchaklaridan biri 125° ga teng. Trapetsiya-
ning qolgan burchaklarini toping.
146.
Teng yonli trapetsiyaning yon tomoniga yopishgan ikki burchagi
bissektrisalari o‘zaro perpendikular ekanini isbotlang.
147.
Teng yonli trapetsiyaning diagonali o‘tkir burchagini teng ikkiga bo‘ladi,
asoslari esa 6 sm va 15 sm ga teng. Trapetsiyaning perimetrini toping.
148.
Teng yonli trapetsiyaning o‘tmas burchagi uchidan o‘tkazilgan balandlik
katta asosini 5 sm li va 20 sm li kesmalarga ajratadi. Shu trapetsiyaning
asoslarini toping.
A
D
F
B
C
E
B
C
E
F
1
2
3
4
A
D
71
72

---

38
1- TEST
1.
Qavariq beshburchakning burchaklari kattaliklari 2 : 3 : 4 : 5 : 6 kabi nis-
batda. Burchaklardan kattasining miqdorini toping.
A) 136°;
B) 162°;
D) 156°;
E) 148°.
2.
Ko‘pburchak ichki burchaklari va bitta tashqi burchagining yig‘indisi
2070° ga teng. Shu ko‘pburchakning tomonlari soni nechta?
A) 13 ta;
B) 16 ta;
D) 11 ta;
E) 15 ta.
3.
Har bir ichki burchagi 156° bo‘lgan qavariq ko‘pburchakning nechta
burchagi bor?
A) 10;
B) 15;
D) 12;
E) 8.
4.
Qavariq to‘rtburchakning burchaklaridan biri to‘g‘ri burchak, qolganlari
esa o‘zaro 6 : 5 : 4 nisbatda. To‘rtburchakning kichik burchagini toping.
A) 108°;
B) 60°;
D) 72°;
E) 90°.
5.
Ikkita burchagining yig‘indisi 100° ga teng bo‘lgan parallelogrammning kat-
ta burchagini toping.
A) 100°;
B) 110°;
D) 130°;
E) 150°.
6.
Parallelogrammning ikki tomoni nisbati 3 : 7 ga, uning perimetri esa
18 sm ga teng. Shu parallelogrammning kichik tomonini toping.
A) 2,7 sm;
B) 5,4 sm;
D) 3,4 sm;
E) 4,5 sm.
7.
Parallelogramm burchaklaridan biri ikkinchisidan 30° ga katta. Uning katta
burchagini toping.
A) 75°;
B) 150°;
D) 105°;
E) 60°.
8.
To‘g‘ri to‘rtburchakning eni 5 ga teng, bo‘yi undan 7 ga ortiq. Shu to‘g‘ri
to‘rtburchakning perimetrini toping.
A) 34;
B) 32;
D) 26;
E) 30.
9.
To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetri 32 ga, qo‘shni tomonlarining ayirmasi
2 ga teng. Uning tomonlarini toping.
A) 8 va 6;
B) 12 va 10;
D) 9 va 7;
E) 11 va 9.
10.
Rombning diagonali tomoni bilan 25° li burchak tashkil qiladi. Rombning
katta burchagini toping.
A) 130°;
B) 150°;
D) 120°;
E) 115°.
11.
Trapetsiyaning uchta tomoni 4 sm dan, to‘rtinchi tomoni esa 8 sm. Tra-
petsiyaning eng katta burchagini toping.
A) 140°;
B) 120°;
D) 150°;
E) 60°.
12.
ABCD
trapetsiyada 
AC
diagonal 
CD
yon tomonga perpendikular. Agar
.
D
=
72° va 
AB
=
BC
bo‘lsa, 
.
ABC
ni toping.
A) 150°;
B) 144°;
D) 136°;
E) 108°.

---

39
Qadimda Misr va Bobil matematikasida to‘rtbur-
chaklarning quyidagi turlari uchraydi: kvadratlar, to‘g‘ri
to‘rtburchaklar, to‘g‘ri burchakli va teng yonli tra-
petsiyalar.
O‘rta Osiyolik olimlardan 
Abu Rayhon Beruniy
ham
to‘rtburchaklarning turlariga mufassal to‘xtalgan. U o‘zi-
ning 
«Astronomiya san’atidan boshlang‘ich ma’lumot
beruvchi kitob»
nomli asarida «To‘rtburchaklarning turi
qanday?» deb savol qo‘yadi va quyidagicha javob
beradi:
«Ulardan b i r i n c h i s i – kvadrat, uning barcha to-
monlari teng, barcha burchaklari to‘g‘ri, diagonallari,
ya’ni qarama-qarshi burchaklarini (uchlarini) tutash-
tiruvchi chiziqlari esa o‘zaro teng.
I k k i n c h i s i – to‘g‘ri to‘rtburchak, u kvadratga nisbatan uzunroq, bar-
cha burchaklari to‘g‘ri, turli tomonlari turlicha, ularning faqat qarama-qarshi
tomonlari va diagonallari teng.
U c h i n c h i s i – romb, uning to‘rtta tomoni teng, ammo diagonallari tur-
licha, burchaklari esa to‘g‘ri burchak emas.
T o ‘ r t i n c h i s i – romboid, uning diagonallari turlicha, faqat ikkitadan
qarama-qarshi tomonlari teng.
Bu shakllardan farqli to‘rtburchaklar trapetsiyalar deyiladi».
Kvadrat
lotincha so‘z bo‘lib, «to‘rt burchakli» degan ma’noni bildiradi.
Beruniy arabcha «
murabba
» atamasini ishlatgan, lotinchaga mana shu arab-
cha atama tarjima qilingan. To‘g‘ri to‘rtburchakning arabchasi «
mustatil
» –
«cho‘zinchoq» degan ma’noni bildiradi.
Romb
atamasining vujudga kelishi turlicha tushuntiriladi. U yunoncha
so‘z bo‘lib, romb «
aylanuvchi jism
», «
pildiroq
» ma’nosini beradi. Geomet-
riyaga bu atama pildiroq kesimining rombga o‘xshashligi tufayli kirgan.
Arabchada romb uchun «
muayyan
» atamasi olingan.
Trapetsiya
yunoncha so‘z bo‘lib, tajrimasi «
stolcha
» (ovqat yeyiladigan
stol)ga to‘g‘ri keladi, lug‘aviy ma’nosi – «to‘rt oyoqlik». Haqiqatan,
yunoncha «
trapedzion
» – «stolcha», «xo‘rak stoli» ma’nosini beradi.
Beruniyda trapetsiya «
muxarrif
» deb nomlangan, bu atama yunoncha
«
trapedzion
»ning arabchaga aynan tajrimasidir.
Parallelogramm
yunoncha so‘z bo‘lib, 
«to‘g‘ri chiziqli yuza»
degan
ma’noni beradi. Parallelogramm arabchada «
mutavozi al-azla
» atamasi bi-
lan yuritilgan, bu «
asoslari parallel
» degan ma’noni bildiradi.
Beruniy parallelogrammga quyidagicha ta’rif beradi:
«U to‘rtburchakli shakl, uning har qanday ikki qarama-qarshi tomoni
parallel. Uning qarama-qarshi burchaklarining uchlarini tutashtiruvchi chiziq
diagonal deb ataladi».
Abu Rayhon Beruniy
(973–1048)
T a r i x i y m a ’ l u m o t l a r

---

40
T e o r e m a .
T e o r e m a .
1 2- m a v z u .
FALES TEOREMASI
1. Dastlabki tushunchalar.
Bizga o‘zaro parallel 
l
1
va 
l
2
to‘g‘ri chiziqlar
hamda ularni kesuvchi 
a 
to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin (73-rasm).
Agar kesuvchi 
a
to‘g‘ri chiziq, 
l
1
va 
l
2
to‘g‘ri chiziqlarni 
A
va 
B
nuqtalarda
kesib o‘tsa, 
l
1
va 
l
2
parallel to‘g‘ri chiziqlar 
a
to‘g‘ri chiziqdan 
AB
kesma
ajratadi,
deb aytiladi.
Uchta 
l
1
, 
l
2
va 
l
3
parallel to‘g‘ri chiziqlar 
a
to‘g‘ri chiziqni 
A
, 
B
, 
C
nuqtalar-
da kesib, 
AB
va 
BC 
kesmalar ajratsin (74-rasm).
Agar 
AB
=
BC
bo‘lsa, parallel to‘g‘ri chiziqlar 
a
to‘g‘ri chiziqdan 
teng kes-
malar
ajratadi,
deb aytiladi (74- rasm).
Agar 
a || b
bo‘lib, 
l
1
, 
l
2
va 
l
3
parallel to‘g‘ri chiziqlar 
a
to‘g‘ri chiziqdan
teng kesmalar ajratsa, 
b
to‘g‘ri chiziqdan ham teng kesmalar ajratadi.
I s b o t . To‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalarini, mos ravishda, 
A
, 
B
, 
C
va
A
1
, 
B
1
, 
C
1
bilan belgilaylik (75-rasm).
Teorema shartiga ko‘ra, 
a || b
va 
AB
=
BC
. 
A
1
B
1
=
B
1
C
1
ekanini isbot qili-
shimiz kerak.
To‘g‘ri chiziqlarning kesishishidan hosil bo‘lgan 
ABB
1
A
1
va 
BCC
1
B
1
to‘rtbur-
chaklar parallelogrammdir, chunki ular o‘zaro parallel to‘g‘ri chiziqlarning kesi-
shishidan hosil bo‘lgan. Parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari bo‘lgani
uchun 
AB
=
A
1
B
1
va 
BC
=
B
1
C
1 
bo‘ladi. Bundan 
A
1
B
1
=
B
1
C
1 
kelib chiqadi, chunki
shartga ko‘ra, 
AB
=
BC
. Teorema isbot bo‘ldi.
E s l a t m a !
Bu holda 
AB
=
BC
=
A
1
B
1
=
B
1
C
1
ekanini esda tutish kerak.
2. Fales teoremasi. 
Quyida ko‘riladigan teorema uchburchak va trapetsiya-
ning o‘rta chiziqlari haqidagi teoremalarning umumlashgan holi bo‘lib, u «
Fales
teoremasi
» deb ataladi.
Agar burchak tomonlarini kesuvchi parallel to‘g‘ri chiziqlar uning bir
tomonidan teng kesmalar ajratsa, ular ikkinchi tomonidan ham teng kesmalar
ajratadi.
I s b o t . 
O
burchakning bir tomonida (
a
nurda) o‘zaro teng 
A
1
A
2 
va 
A
2
A
3
kesmalar qo‘yilgan hamda ularning oxirlari (
A
1
, 
A
2
, 
A
3
) orqali ikkinchi tomonni