Учебное пособие для вузов 2-е издание, исправленное и дополненное Ìîñêâà  Þðàéò  2017

IV. Алимов Ш. А. (и др.) «Алгебра и начала математического анализа»
Глава VIII «Производная и ее геометрический смысл». 
1. Производная. 
2. Производная степенной функции. 
3. Правила дифференцирования. 
4. Производные некоторых элементарных функций. 
5. Геометрический смысл производной. 
Автор в отдельную главу выделяет «Применение производной к иссле-
дованию функций» (глава IX): 
17

---

16 
1. Возрастание и убывание функции. 
2. Экстремумы функции. 
3. Применение производной к построению графиков функций. 
4. Наибольшее и наименьшее значения функции. 
5. Выпуклость графика функции, точки перегиба.
В учебнике изучение производной начинается с рассмотрения физиче-
ской задачи об определении мгновенной скорости тела в момент времени t.
В результате её решения вводится понятие разностного отношения
(
)
( )
s t h s t
h


, а его предел при h 

0 называют производной функции s(t) и 
обозначают s
/
(t). Затем формулируется общее определение производной 
функции в точке. 
О п р е д е л е н и е 5. Пусть функция f (x) определена на некотором 
промежутке, х – точка этого промежутка и число h

0 такое, что х+ h  также 
принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения 
(
)
( )
f x h
f x
h


при 
0
h 
(если этот предел существует) называется производ-
ной функции f (x) в точке х и обозначается f 
/
(x).
Таким образом, 
/
0
(
)
( )
( ) lim
.
h
f x h
f x
f x
h




Автор не использует понятия «приращение аргумента» и «приращение 
функции»; употребляет термин «предел» и символ lim. Учащимся сообщается, 
что изучение теории пределов не входит в программу средней школы, поэтому 
в школьном курсе математики некоторые формулы производных строго не до-
казываются или вообще принимаются без доказательства. При нахождении 
производных простейших функций автор пользуется наглядными представле-
ниями. Например, считается наглядно понятным, что если 
0
h 
, то 
5
0
h 
, 
2
0
h 
, 
5 3
5
h


, и т. п. 
Несмотря на это, автор приводит строгое определение предела функции в 
точке и поясняет его.