Учебное пособие для вузов 2-е издание, исправленное и дополненное Ìîñêâà  Þðàéò  2017

II. Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа»
Глава II «Производная и ее применение» 
Вводная беседа: 
1. Механический смысл производной. 
2. Геометрический смысл производной. 
3. Определение производной. 
4. Предельные переходы. 
§ 1. Вычисление производной 
1. Схема вычисления производной. 
2. Правила дифференцирования. 
3. Производная степени. 
4. Линейная замена аргумента. 
§ 2. Исследование функции с помощью производной 
1. Связь свойств функции и ее производной. 
2. Особые точки. 
3. Решение задач. 
4. Построение графика функции. 
§ 3. Приложения производной 
1. Скорость и ускорение. 
2. Скорость криволинейного движения. 
3. Дифференциал. 
4. Дифференциал в физике. 
5. Задачи на максимум и минимум. 
6. Приближенные формулы. 
Заключительная беседа: 
1. Линеаризация. 
2. Производная сложной функции. 
3. Гладкость функции. 
Как мы видим, вначале автор рассматривает механический смысл произ-
водной, решая задачу нахождения скорости точки в момент времени t (ее в ме-
ханике часто называют мгновенной скоростью). Затем выясняет геометриче-
ский смысл производной, решая задачу вычисления углового коэффициента ка-
сательной к данной кривой в данной точке. 
Обе задачи приводят к необходимости осуществить предельный переход 
в выражении вида
1
1
( )
( )
f x
f x
x x


при стремлении х
1
к х. Этот предельный пере- 
ход носит название дифференцирования функции f. Само понятие предельного 
перехода автор поясняет на примерах.
14

---

13 
Учащимся сообщается, что математический анализ, созданный И. Ньюто-
ном и Г. Лейбницем, долго развивался на основе интуитивного понятия произ-
водной как «скорости изменения функции». Современное определение произ-
водной появилось лишь в XIX в. после того, как были уточнены основные по-
нятия математического анализа: вещественное число, функция, предел. С их 
помощью можно дать следующее определение. 
О п р е д е л е н и е 2. Производной функции y = f (x) называется предел 
отношения 
1
1
( )
( )
f x
f x
x x


при стремлении х
1
к х. 
Исторически сложилась символика для обозначения участвующих в 
этом определении выражений. Разность значений аргумента обозначают 

х 
(дельта икс) и называют приращением аргумента, а разность значений функ-
ции обозначают 

у и называют приращением функции, то есть 

х = х
1
 - х, а

y = f (x+

х) – f (x). Средняя скорость изменения функции записывается при 
этом как 
.
y
x


Производную функции y = f (x) обозначают с помощью штриха
у