Учебное пособие для вузов 2-е издание, исправленное и дополненное Ìîñêâà  Þðàéò  2017

/
или f
/
. Таким образом, получается новый вариант определения производной. 
О п р е д е л е н и е 2
/
. Производной функции называется предел отноше-
ния приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргу-
мента стремится к нулю. 
Символически определение производной можно записать так: 
/
0
lim
,
x
y
y
x
 



или 
/
0
x
y
y
x
 



. 
В учебнике дается алгоритм вычисления производной с помощью опре-
деления: 
1) вычисляют 

у – приращение функции на отрезке [х; х+

х] и состав-
ляют отношение 
;
y
x


2) представляют себе, что 

х приближается к нулю, и переходят к пре-
делу, то есть находят, к какому значению приближается отношение 
y
x


при 
0.
x
 
III. Мордкович А. Г. «Алгебра и начала математического анализа»
Глава 4 «Производная». 
1.Числовые последовательности. 
2. Предел числовой последовательности. 
3. Предел функции. 
4. Определение производной. 
5. Вычисление производных. 
6. Уравнение касательной к графику функции. 
7. Применение производной для исследования функций на монотонность и экс-
тремумы. 
8. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений 
величин. 
15

---

14 
Изучение производной начинается с изучения предела последователь-
ности и предела функции в точке. 
О п р е д е л е н и е 3. Число b называется пределом последовательности 
(y
n
), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все 
члены последовательности, начиная с некоторого номера. 
Затем рассматриваются свойства сходящихся последовательностей и 
приемы вычисления пределов последовательностей. 
Понятие предела функции в точке вводится на наглядном уровне, оп-
ределение при этом не формулируется. Учащимся на примерах разъясняется, 
как вычислять предел непрерывных функций и функций, не являющихся не-
прерывными в данной точке. 
После этого вводятся понятия приращения аргумента и приращения 
функции. Рассмотрение производной начинается с решения двух задач: о 
скорости движения и о касательной к графику функции. Затем формулиру-
ется определение производной. 
О п р е д е л е н и е 4. Пусть функция y = f (x) определена в точке x и в 
некоторой её окрестности. Дадим аргументу x приращение 

х такое, чтобы 
не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение 
функции 

у и составим отношение 
y
x


. Если существует предел этого от-
ношения при 
0,
x
 
то указанный предел называют производной функции
y = f (x) в точке х  и обозначают f
/
(x). 
Символически это записывают так: 
/
0
lim
( ).
x
y
f x
x
 



Для обозначения производной часто используют символ у