Учебное пособие для вузов 2-е издание, исправленное и дополненное Ìîñêâà  Þðàéò  2017

/
. 
Автор подчеркивает, что у
/
= f
/
(x) – это новая функция, но тесно свя-
занная с функцией y = f (x), определенная во всех точках x, в которых суще-
ствует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная 
функции y = f (x).
Решенные ранее задачи позволяют сделать вывод о физическом и гео- 
метрическом смыслах производной. Физический (механический) смысл про-
изводной состоит в том, что если s(t) – закон прямолинейного движения тела, 
то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: 
v = s
/
(t). 
Геометрический смысл производной заключается в том, что если к 
графику функции y = f (x) в точке с абсциссой x = а можно провести каса-
тельную, непараллельную оси y, то f
/
(а) выражает угловой коэффициент ка-
сательной k = f
/
(а). 
Поскольку k = tg

, то верно равенство f
/
(а) = tg

(при этом приводится 
соответствующий рисунок). 
Определение производной трактуется в учебнике и с точки зрения при-
ближенных равенств. Пусть функция y = f (x) имеет производную в точке x:
16

---

15 
/
0
lim
( ).
x
y
f x
x
 



Это означает, что в достаточно малой окрестности точки x выполняется 
приближенное равенство 
/
( )
y f x
x



или

у 

f 
/
(x) · 

х.
Смысл этого равенства заключается в следующем: приращение функции 
«почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом про-
порциональности является значение производной (в заданной точке x). Напри-
мер, для функции y = x
2
справедливо приближенное равенство 

у 

2x ·

х.
Внимание учащихся акцентируется также на том, что в самом опреде-
лении производной заложен алгоритм отыскания производной, который 
формулируется отдельно.
АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 
(для функции y = f (x))
1. Зафиксировать значение x, найти f (x). 
2. Дать аргументу x приращение 

х, перейти в новую точку x + 

х, 
найти f (x +

х). 
3. Найти приращение функции: 

у = f (x +

х) - f (x). 
4. Составить отношение 
y
x


. 
5. Вычислить предел 
0
lim
x
y
x
 


. 
Этот предел и есть f 
/
(x). 
Затем приводятся примеры на нахождение производной с помощью 
этого алгоритма. Учащимся сообщается, что если функция y = f (x) имеет 
производную в точке x, то её называют дифференцируемой в точке x. Проце-
дуру отыскания производной функции y = f (x) называют дифференцирова-
нием функции y = f (x).
В учебнике автор достаточно подробно разъясняет связь между непре-
рывностью и дифференцируемостью функции. Формулируется утверждение: 
если функция дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке. 
Учащиеся узнают, что обратное утверждение неверно, и убеждаются в 
этом на конкретном примере функции y = | x |.