Sferik koordinatalar sistemasi

Yechim
Masalaning shartiga ko'ra, tenglamasi biz oldinga chiqishi kerak bo'lgan to'g'ri chiziq x 2 
= y - 3 - 1 to'g'ri chiziqqa parallel. Keyin, o'tadigan to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektori 
sifatida 
belgilash nuqtasi
, x 2 = y - 3 - 1 to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektoridan 
fo
ydalanish mumkin, biz uni quyidagicha yozamiz: a → = (2, - 1). Endi biz kerakli 
parametrik tenglamalarni tuzish uchun barcha kerakli ma'lumotlarni bilamiz: 
x = x 1 + ax l y = y 1 + ay l 
⇔
x = 1 2 + 2 l y = 2 3 + (- 1) l 
⇔
x = 1 2 + x l y = 2 3 - l 
Javob:
x = 1 2 + x · l y = 2 3 - l. 
9-misol 
M 1 (0, - 7) nuqtasi o'rnatiladi. Bu nuqtadan o'tuvchi 3 x - 2 y - 5 = 0 to'g'ri chiziqqa 
perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozish kerak. 
Yechim
Tenglamasini tuzish kerak bo'lgan to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida 3 x - 2 y 
- 5 = 0 to'g'ri chiziqning normal vektorini olish mumkin. Uning koordinatalari (3, - 2). 
To'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalarini yozamiz: 

---

x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l 
⇔
x = 0 + 3 l y = - 7 + (- 2) l 
⇔
x = 3 l y = - 7 - 2 l 
Javob:
x = 3 l y = - 7 - 2 l 
1. 
Uchinchi turdagi masalalarda berilgan to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalaridan uni 
aniqlovchi boshqa turdagi tenglamalarga o‘tish talab etiladi. Biz yuqorida bunday misollarning 
yechimini ko'rib chiqdik, yana bittasini keltiramiz. 
10-misol
To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislikdagi to'g'ri chiziq x = 1 - 3 4 · l y 
= - 1 + l parametrik tenglamalar bilan aniqlanadi. Bu to'g'ri chiziqning istalgan normal 
vektorining koordinatalarini topish kerak. 
Yechim
Normal vektorning kerakli koordinatalarini aniqlash uchun parametrik tenglamalardan 
umumiy tenglamaga o'tishni amalga oshiramiz: 
x = 1 - 3 4 l y = - 1 + l 
⇔
l = x - 1 - 3 4 l = y + 1 1 
⇔
x - 1 - 3 4 = y + 1 1 
⇔
⇔
1 x - 1 = - 
3 4 y + 1 
⇔
x + 3 4 y - 1 4 = 0 
X va y o'zgaruvchilarning koeffitsientlari bizga normal vektorning kerakli koordinatalarini 
beradi. Shunday qilib, x = 1 - 3 4 · l y = - 1 + l chiziqning normal vektori 1, 3 4 
koordinatalariga ega. 
Javob:
1 , 3 4 . 
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing 
Chiziq M1 (x1, y1, z1) nuqtadan o'tib, vektorga (m, n, l) parallel bo'lsin. Shu to‘g‘ri 
chiziqning tenglamasini tuzamiz. 
Ushbu chiziqdan ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtani oling va x, y, z orasidagi bog'lanishni 
toping. Keling, vektorni tuzamiz 
Vektorlar kollineardir. 
- fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi. 
44 To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari 
Chunki bu tenglama to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasining koordinatalari bilan 
qanoatlansa, natijada olingan tenglama to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi bo'ladi. 
Ushbu vektor tenglamani koordinata shaklida ifodalash mumkin: 
Ushbu tizimni o'zgartirib, t parametrining qiymatlarini tenglashtirib, biz kosmosdagi to'g'ri 
chiziqning kanonik tenglamalarini olamiz: 

---

Ta'rif. To'g'ri chiziqning yo'nalish kosinuslari vektorning yo'nalish kosinuslari bo'lib, ularni 
quyidagi formulalar bilan hisoblash mumkin: 
Bu yerdan kelib chiqadi: m: n: p = cosa: cosb: cosg. 
m, n, p sonlari chiziqning qiyaliklari deyiladi. Bu nolga teng bo'lmagan vektor bo'lgani 
uchun, m, n va p bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas, lekin bu 
raqamlarning bir yoki ikkitasi nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday holda, to'g'ri chiziq 
tenglamasida mos keladigan sonlarni nolga tenglashtirish kerak. 
45 Ikki xil berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning 
fazodagi tenglamasi. 
Analitik geometriya 
Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi. 
M1 (x1y1) va M2 (x2y2) tekislikda berilgan bo'lsin. M1M2 ni 
S yo‘nalish vektori sifatida 
shu ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini tuzamiz. 
uchlik. 
Bu berilgan ikkita (x1 y1) va (x2, y2) nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi. 
Endi kosmosdagi chiziq va tekislik tenglamalariga murojaat qilamiz. 
3 o'lchovli fazoda analitik geometriya 
Xuddi shunday 
ikki o'lchovli holat
 x, y, z uchta o'zgaruvchiga nisbatan birinchi darajali 
har qanday tenglama Oxyz fazodagi tekislikning tenglamasi .. Tekislikning umumiy 

---

tenglamasi AX + VY + SZ + D = 0, bu erda vektor N = (A, B, C) tekislik uchun normaldir. 
M (x0, y0, z0) nuqtadan o'tuvchi va normal N (A, B, C) A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) 
ga ega bo'lgan tekislikning kanonik tenglamasi. = 0 - bu tenglamani ifodalaydi? 
X 
–x0, y – y0 va z –z0 qiymatlari joriy nuqta va sobit nuqta koordinatalari orasidagi 
farqdir. Demak, a (x-x 0, y-y0, z-z0) vektor tasvirlangan tekislikda yotuvchi vektor, N 
vektor esa tekislikka perpendikulyar vektor, ya’ni ular bir-biriga perpendikulyar. 
Keyin ularning nuqta mahsuloti nolga teng bo'lishi kerak. 
Koordinata shaklida (N, a) = 0 quyidagicha ko'rinadi: 
A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0 
Kosmosda vektorlarning o'ng va chap uchligi mavjud. Koplanar bo'lmagan a, b, c 
vektorlarning uchligi to'g'ri deyiladi, agar ularning umumiy koordinatasidan a, b, c 
vektorlarning uchlarini ko'rsatilgan tartibda kesib o'tayotgan kuzatuvchi soat yo'nalishi 
bo'yicha bajarilganga o'xshaydi. Aks holda 
a, b, c hollari
- chap. 
46 Fazodagi chiziqlar orasidagi burchak 
Fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy 
nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har 
qandayi deb ataladi. 
Fazoda ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin: 
Shubhasiz, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni ularning yo'nalish vektorlari orasidagi 
burchak sifatida olish mumkin va. O'shandan beri vektorlar orasidagi burchakning 
kosinus formulasiga ko'ra, biz olamiz 
Ikki to'g'ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari ularning yo'nalish 
vektorlarining parallellik va perpendikulyarlik shartlariga ekvivalentdir: 
Ikki to'g'ri chiziq parallel bo'ladi, agar ularning mos keladigan koeffitsientlari 
proportsional bo'lsa, ya'ni. l1 l2 ga parallel bo'ladi, agar u parallel 
bo'lsa 
. 
Ikki to'g'ri chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar tegishli koeffitsientlar ko'paytmalari 
yig'indisi nolga teng bo'lsa va faqat:. 
l1 to‘g‘ri chiziqqa parallel M1 (1; 2; 3) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamalarini 
toping: 

---

Izlanayotgan l chiziq l1 ga parallel bo'lganligi sababli, u holda l1 chiziqning yo'nalish 
vektorini izlanayotgan l chiziqning yo'nalish vektori sifatida olish mumkin. 
Ushbu maqolada biz tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini ko'rib 
chiqamiz. Agar ushbu to'g'ri chiziqning ikkita nuqtasi ma'lum bo'lsa yoki bu to'g'ri 
chiziqning bir nuqtasi va yo'nalishi vektori ma'lum bo'lsa, to'g'ri chiziqning parametrik 
tenglamasini qurishga misollar keltiramiz. Parametrik ko'rinishdagi tenglamani kanonik 
va umumiy ko'rinishga o'tkazish usullarini keltiramiz. 
To'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi