Sferik koordinatalar sistemasi

4-misol.
Parametrik tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning qiyaligini toping 
Yechim. To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari avval kanonikga, so'ngra umumiyga 
va nihoyat, qiyalik bilan tenglamaga aylantirilishi kerak. 
Shunday qilib, berilgan chiziqning qiyaligi: 
5-misol.
Nuqtadan o`tuvchi va to`g`ri chiziqqa perpendikulyar to`g`ri chiziqning 
parametrik tenglamalarini yozing 
To'g'ri chiziq nuqta bilan birgalikda geometriyaning muhim elementlari bo'lib, ular 
yordamida fazoda va tekislikda ko'plab figuralar quriladi. Ushbu maqolada parametrik va 
uning ushbu geometrik element uchun boshqa turdagi tenglamalar bilan aloqasi batafsil 
ko'rib chiqiladi. 
Uni tavsiflash uchun chiziq va tenglamalar 
Geometriyada toʻgʻri chiziq fazodagi ixtiyoriy ikkita nuqtani eng kichik uzunlikdagi 
segment bilan bogʻlaydigan nuqtalar yigʻindisidir. Ushbu segment to'g'ri chiziqning bir 
qismidir. Kosmosdagi ikkita sobit nuqtani bog'laydigan har qanday boshqa egri chiziqlar 
uzun bo'ladi, shuning uchun ular tekis emas. 
Yuqoridagi rasmda ikkita qora nuqta ko'rsatilgan. Ularni bog'laydigan ko'k chiziq to'g'ri, 
qizil chiziq esa kavisli. Shubhasiz, qora nuqta orasidagi qizil chiziq uzunligi ko'kdan 
uzunroqdir. 
To'g'ri chiziq tenglamalarining bir nechta turlari mavjud, ular yordamida siz to'g'ri chiziqni 
tasvirlashingiz mumkin 
uch o'lchovli fazo
 yoki ikki o'lchovli. Quyida ushbu 
tenglamalarning nomlari keltirilgan: 

---


vektor; 

parametrik; 

segmentlarda; 

nosimmetrik yoki kanonik; 

umumiy turi. 

---

Ushbu maqolada biz to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini ko'rib chiqamiz, lekin biz 
uni vektor tenglamasidan olamiz. Parametrik va simmetrik yoki kanonik tenglamalar 
orasidagi bog'lanishni ham ko'rsatamiz. 
Vektor tenglamasi 
Ko'rinib turibdiki, ko'rib chiqilayotgan geometrik element uchun berilgan tenglamalarning 
barcha turlari bir-biriga bog'liq. Shunga qaramasdan 
vektor tenglamasi
 ularning 
barchasi uchun asosiy hisoblanadi, chunki u to'g'ridan-to'g'ri chiziq ta'rifidan kelib 
chiqadi. Keling, geometriyaga qanday kiritilganligini ko'rib chiqaylik. 
P (x 0; y 0; z 0) fazoda nuqta berilgan deylik. Ma'lumki, bu nuqta to'g'ri chiziqqa tegishli. 
U orqali nechta qatorni o'tkazishingiz mumkin? Cheksiz son. Shuning uchun bitta to'g'ri 
chiziq chizish imkoniyatiga ega bo'lish uchun ikkinchisining yo'nalishini belgilash kerak. 
Ma'lumki, yo'nalish vektor tomonidan aniqlanadi. Biz uni v¯ (a; b; c) bilan belgilaymiz, bu 
erda qavs ichidagi belgilar uning koordinatalari. Ko'rib chiqilayotgan chiziqda joylashgan 
har bir Q (x; y; z) nuqta uchun tenglikni yozishimiz mumkin: 
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + a × (a; b; c) 
Bu erda a belgisi mutlaqo har qanday haqiqiy qiymatni qabul qiluvchi parametrdir 
(vektorni raqamga ko'paytirish uning modulini yoki yo'nalishini faqat teskari tomonga 
o'zgartirishi mumkin). Bu tenglik uch o‘lchamli fazodagi to‘g‘ri chiziq uchun vektor 
tenglamasi deyiladi. a parametrini o'zgartirib, biz ushbu chiziqni tashkil etuvchi barcha 
nuqtalarni (x; y; z) olamiz. 
Tenglamadagi v¯ (a; b; c) vektor yo'naltiruvchi vektor deyiladi. To'g'ri chiziqning aniq 
yo'nalishi yo'q va uning uzunligi cheksizdir. Bu faktlar shuni anglatadiki, v¯ dan 
ko'paytirish yo'li bilan olingan har qanday vektor 
haqiqiy raqam
, shuningdek, to'g'ri 
chiziq uchun qo'llanma bo'ladi. 
P nuqtaga kelsak (x 0; y 0; z 0), u holda uning o'rniga to'g'ri chiziqda yotadigan 
tenglamaga ixtiyoriy nuqta qo'yilishi mumkin va ikkinchisi o'zgarmaydi. 

---

Yuqoridagi rasmda kosmosda yo'nalish vektori (qizil yo'nalish chizig'i) orqali aniqlangan 
to'g'ri chiziq (ko'k chiziq) ko'rsatilgan. 
Ikki o'lchovli holat uchun bunday tenglikni olish qiyin emas. Shunga o'xshash fikrlashdan 
foydalanib, biz quyidagi iboraga erishamiz: 
(x; y) = (x 0; y 0) + a × (a; b) 
Ko'ramizki, u avvalgisi bilan mutlaqo bir xil, nuqta va vektorlarni ko'rsatish uchun uchta 
o'rniga faqat ikkita koordinata ishlatiladi. 
Parametrik tenglama 

---

Birinchidan, fazodagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini olamiz. Yuqorida, vektor 
tengligi yozilganda, unda mavjud bo'lgan parametr haqida allaqachon aytib o'tilgan. 
Parametrik tenglamani olish uchun vektorni kengaytirish kifoya. Biz olamiz: 
x = x 0 + a × a; 

---

y = y 0 + a × b; 
z = z 0 + a × c 
Har birida bitta oʻzgaruvchan koordinata va a parametrga ega boʻlgan ushbu uchta chiziqli 
tenglik toʻplami odatda fazodagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamasi deb ataladi. 
Asosan, biz hech qanday yangi ish qilmadik, shunchaki mos keladigan vektor ifodasining 
ma'nosini aniq yozdik. Biz faqat bir nuqtaga e'tibor qaratamiz: a soni, garchi u ixtiyoriy bo'lsa 
ham, barcha uchta tenglik uchun bir xil. Misol uchun, agar 1-tenglik uchun a = -1,5 bo'lsa, 
nuqta koordinatalarini aniqlashda uning bir xil qiymati ikkinchi va uchinchi tengliklarga 
almashtirilishi kerak. 
Parametrik tenglama
 tekislikdagi to'g'ri chiziq fazoviy holatga o'xshaydi. U quyidagicha 
yoziladi: 
x = x 0 + a × a; 
y = y 0 + a × b 
Shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini tuzish uchun uning vektor 
tenglamasi aniq yozilishi kerak. 
Kanonik tenglamani olish 

---

Yuqorida ta'kidlanganidek, fazoda va tekislikda to'g'ri chiziqni belgilovchi barcha 
tenglamalar bir-biridan olingan. Keling, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasidan 
kanonikni qanday olishni ko'rsatamiz. Fazoviy holat uchun bizda: 
x = x 0 + a × a; 
y = y 0 + a × b; 
z = z 0 + a × c 

---

Har bir tenglikdagi parametrni ifodalaylik: 
a = (x - x 0) / a; 
a = (y - y 0) / b; 
a = (z - z 0) / c 
Chap tomonlari bir xil bo'lganligi sababli, tengliklarning o'ng tomonlari ham bir-biriga teng: 
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c 
Bu shunday 
kanonik tenglama
 kosmosdagi to'g'ri chiziq uchun. Har bir ifodadagi maxraj 
qiymati mos keladigan koordinatadir.Har bir oʻzgaruvchidan ayiriladigan paydagi qiymatlar 
shu chiziqdagi nuqtaning koordinatalaridir. 
Samolyotdagi holat uchun mos keladigan tenglama quyidagi shaklni oladi: 
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b 
2 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi 
Ma'lumki, tekislikda ham, fazoda ham ikkita qo'zg'almas nuqta to'g'ri chiziqni o'ziga xos 
tarzda belgilaydi. Aytaylik, sizga samolyotda quyidagi ikkita nuqta berilgan: 
Ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi? Birinchidan, siz yo'nalish 
vektorini aniqlashingiz kerak. Uning koordinatalari quyidagi ma'nolarga ega: 
PQ¯ (x 2 - x 1; y 2 - y 1) 
Endi siz tenglamani yuqoridagi paragraflarda muhokama qilingan uchta shakldan birida 
yozishingiz mumkin. Masalan, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi quyidagi shaklni 
oladi: 
x = x 1 + a × (x 2 - x 1); 
y = y 1 + a × (y 2 - y 1) 
Kanonik shaklda siz uni quyidagicha qayta yozishingiz mumkin: 
(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1) 
Ko'rinib turibdiki, kanonik tenglama ikkala nuqtaning koordinatalarini o'z ichiga oladi va 
hisoblagichda siz ushbu nuqtalarni o'zgartirishingiz mumkin. Shunday qilib, oxirgi 
tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin: 
(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1) 

---

Barcha yozma ifodalar 2 nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamalari deyiladi. 
Uch nuqtali muammo 
Quyidagi uchta nuqtaning koordinatalari berilgan: 
Bu nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda joylashgan yoki yo'qligini aniqlash kerak. 
Bu masalani quyidagicha yechish kerak: avval istalgan ikkita nuqta uchun to‘g‘ri chiziq 
tenglamasini tuzing, so‘ngra uchinchisining koordinatalarini unga almashtiring va ular 
olingan tenglikni qanoatlantirayotganligini tekshiring. 
Parametrik shaklda M va N ko'rinishida tenglama tuzamiz. Buning uchun biz yuqoridagi 
paragrafda olingan formulani qo'llaymiz, biz uni uch o'lchovli holatga umumlashtiramiz. 
Bizda ... bor: 
x = 5 + a × (-3); 
y = 3 + a × (-1); 
z = -1 + a × 1 
Endi bu ifodalarga K nuqtaning koordinatalarini qo‘yib, ularga mos keluvchi alfa parametr 
qiymatini topamiz. Biz olamiz: 
1 = 5 + a × (-3) => a = 4/3; 
1 = 3 + a × (-1) => a = 4; 
5 = -1 + a × 1 => a = -4 
Biz shuni aniqladikki, agar ularning har biri a parametrining har xil qiymatini oladigan bo'lsa, 
uchta tenglik ham haqiqiy bo'ladi. Oxirgi fakt to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasining 
shartiga zid keladi, bunda a barcha tenglamalar uchun teng bo'lishi kerak. Demak, K nuqta 
MN to‘g‘ri chiziqqa tegishli emas, ya’ni uchala nuqta ham bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydi. 
To'g'ri chiziqlar parallelligi muammosi 

---

---

To'g'ri chiziqlarning ikkita tenglamasi parametrik shaklda berilgan. Ular quyida keltirilgan: 
x = -1 + 5 × a; 
x = 2 - 6 × l; 
y = 4 - 3,6 × l 
Chiziqlar parallel yoki yo'qligini aniqlash kerak. Ikki chiziqning parallelligini aniqlashning eng 
oson usuli bu yo'nalish vektorlarining koordinatalaridan foydalanishdir. Ikki o'lchovli fazodagi 
parametrik tenglamaning umumiy formulasiga murojaat qilsak, har bir to'g'ri chiziqning 
yo'nalish vektorlari koordinatalariga ega bo'lishini aniqlaymiz: 
Ikki vektor parallel bo'ladi, agar ulardan birini ikkinchisini qandaydir songa ko'paytirish orqali 
olish mumkin bo'lsa. Biz vektorlarning koordinatalarini juftlarga ajratamiz, biz quyidagilarni 
olamiz: 
Bu shuni anglatadiki: 
v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯ 
Yo‘nalish vektorlari v 2 ¯ va v 1 ¯ parallel, ya’ni masala bayonidagi chiziqlar ham parallel. 
Keling, ular bir xil to'g'ri chiziq emasligini tekshiramiz. Buning uchun tenglamadagi istalgan 
nuqtaning koordinatalarini boshqasiga almashtirish kerak. (-1; 3) nuqtani oling, uni ikkinchi 
qator uchun tenglamaga almashtiring: 
1 = 2 - 6 × l => l = 1/2; 
3 = 4 - 
3,6 × l => l ≈ 0,28 
Ya'ni, to'g'ri chiziqlar boshqacha. 
Chiziqlarning perpendikulyarligi muammosi 

---

Ikki to'g'ri chiziq tenglamalari berilgan: 
x = 2 + 6 × l; 
y = -2 - 4 × l 
Bu chiziqlar perpendikulyarmi? 
Ikki to'g'ri chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar 
skalyar mahsulot
 ularning yo'nalish vektorlari 
nolga teng. Keling, ushbu vektorlarni yozamiz: 
Keling, ularning nuqta mahsulotini topamiz: 
(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0 

---

Shunday qilib, biz ko'rib chiqilgan to'g'ri chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqladik. Ular 
yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan. 
“Teklikdagi toʻgʻri chiziq tenglamasi” mavzusining kichik bandlaridan biri toʻgʻri burchakli 
koordinatalar sistemasidagi tekislikdagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamalarini 
tuzish masalasidir. Quyidagi maqolada ma'lum ma'lum ma'lumotlar bilan bunday 
tenglamalarni tuzish printsipi muhokama qilinadi. Parametrik tenglamalardan boshqa 
turdagi tenglamalarga qanday o'tishni ko'rsatamiz; Keling, tipik vazifalarni hal qilishni 
tahlil qilaylik. 
Ushbu chiziqqa tegishli nuqtani va chiziqning yo'nalishi vektorini ko'rsatish orqali ma'lum 
bir chiziq aniqlanishi mumkin. 
Aytaylik, bizga O x y to‘rtburchak koordinatalar sistemasi berilgan. Shuningdek, uning 
ustida yotgan M 1 (x 1, y 1) nuqta va berilgan to‘g‘ri chiziqning yo‘nalish vektori 
ko‘rsatilgan a to‘g‘ri chiziq. a → = (a x, a y) 
. 
Keling, tenglamalar yordamida berilgan a 
chiziqqa tavsif beraylik. 
Biz ixtiyoriy M (x, y) nuqtadan foydalanamiz va vektorni olamiz 
M 1 M →; uning 
koordinatalarini boshlang'ich va oxirgi nuqtalarning koordinatalari bo'yicha hisoblang: M 
1 M → = (x - x 1, y - y 1). Natijani tavsiflaymiz: to'g'ri chiziq M (x, y) nuqtalar to'plami 
bilan berilgan, M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o'tadi va yo'nalish vektoriga ega. 
a → = (a x, a 
y) 
. 
Belgilangan to‘plam to‘g‘ri chiziqni faqat M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) va a → = (a x, a 
y) vektorlari kollinear bo‘lsagina belgilaydi. 
zarur va bor 
etarli holat
 
vektorlarning kollinearligi, bu holda M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) 
va a → = (a x, a y) vektorlari uchun tenglama ko'rinishida yozilishi mumkin: 
M 1 M → = l · a →, bu erda l - qandaydir haqiqiy son. 
Ta'rif 1 
M 1 M → = l · a → tenglama chiziqning vektor-parametrik tenglamasi deyiladi. 
Koordinata shaklida u quyidagi shaklga ega: 
M 1 M → = l a → 
⇔
x - x 1 = l a x y - y 1 = l a y 
⇔
x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l 
Hosil boʻlgan x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l sistemaning tenglamalari toʻgʻri burchakli 
koordinatalar sistemasidagi tekislikdagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamalari 
deyiladi. Nomning mohiyati quyidagicha: to'g'ri chiziqning barcha nuqtalarining 
koordinatalarini barcha haqiqiy qiymatlar ustida takrorlanganda x = x 1 + ax l y = y 1 + 
ay l ko'rinishdagi tekislikdagi parametrik tenglamalar bilan aniqlash mumkin. l 
parametrining 
Yuqoridagilarga ko'ra, tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari x = x 1 + ax 
vektor 
a → = (a x, a y) 
. 
Demak, to’g’ri chiziqning qaysidir nuqtasining koordinatalari va 
uning yo’nalishi vektorining koordinatalari berilgan bo’lsa, u holda berilgan to’g’ri 
chiziqning parametrik tenglamalarini darhol yozish mumkin bo’ladi. 
1-misol 

---

To'g'ri to'g'ri chiziqning to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislikda unga 
tegishli M 1 (2, 3) nuqtasi va uning yo'nalishi vektori berilgan bo'lsa, uning parametrik 
tenglamalarini tuzish kerak. 
a → = (3, 1). 
Yechim
Dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y 
= 1. Parametrik tenglamalar quyidagicha bo'ladi: 
x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l 
⇔
x = 2 + 3 l y = 3 + 1 l 
⇔
x = 2 + 3 l y = 3 + l 
Keling, aniq tasvirlab beraylik: