O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti mexanika-matematika fakulteti

4. Parabolik tipdagi tenglamani oshkormas sxemali chekli ayirmalar usuli 

bilan yechish 

 

Quyidagi issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini yechaylik: 

 

---

9 

 

Endi  oshkormas  sxemadan  (4-rasm)  foydalangan  holda  ushbu  tenglamaning 

chekli ayirmali approksimatsiyasini quyidagicha yozamiz: 

 

 

 

3-rasm.To’rtnuqtali oshkormas sxema shabloni. 

 

Bunda  birinchi  indeks  gazoviy  koordinataga,  ikkinchisi  esa  vaqt 

koordinatasiga  mos  keladi.Oshkor  sxemadan  farqli  ravishda  bu  chekli  ayirmali 

tenglamaning o’ng tarafida funksiyaning qiymatlari keying vaqt qadamiga tegishli. 

Ushbu 

 

belgilashni kiritib,chekli ayirmali tenglamani quyidagicha yozib olamiz: 

 

yoki matritsa ko’rinishida quyidagicha 

 

bu yerda 

 

Endi  Mathcad  matematik  paketida  bu  hisoblashlarni  bajarib,  berilgan 

chegaraviy masalani yechamiz: 

---

10 

 

To’rning  tugunlari  sonini  kiritamiz  (bu  misolimizda  har  ikkala  o’zgaruvchi 

yo’nalishida bir xil qilib tanlaymiz): 

n:=30 

Siklik parametrlar: 

i:=0..n       j:=0..n      k:=0..n-1     m:=1..n-1 

Boshlang’ich parametrlarni kiritamiz 

α:=0      β:=1     µ:=5 

Tadqiqot sohasidagi boshlang’ich temperatura: 

Chekli ayirmali tenglamaning matritsalarini tuzib olamiz: 

 

 

 

 

 Yechimni quyidagicha topamiz: 

 

 

Dastlab yechim funksiyasining to’r grafigi va izoliniyalarini chizamiz (4-rasm). 

 

4-rasm. 

u

i 0



sin



i

n















i

n





 

u

0 j







 

u

n j







 

A

i i



1

2









 

A

m m

1











 

A

m

1



m









 



i

0



 



0

 





 



i

0



 



0

 





 

u

j

1







A

1



u

j

 

















 

---

11 

 

 

Endi shu rasmni rangli holatda chizamiz (5-rasm): 

 

5-rasm. 

 

Xususan, yechimi oldindan ma’lum bo’lgan chegaraviy masalani qaraylik: 

 ,   t>0, 0 < x <



 

u(o,t)=u(



,t)=0, t>0 

u(x,o) = sin(x),  0 < x <



 

Bu chegaraviy masalaning analitik yechimi u(x,t)=exp(-t)sin(x). 

Tenglamardagi  differensial  operatorlarni  ularning  chekli-ayirmali  analoglari 

bilan almashturamiz.Oshkormas sxemadan foydalanamiz. 

 

Xususiy  hosilalarni  mos  chekli  ayirmalar  bilan  almashtirish  natijasida 

quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 

 

Xususiy  hosilalarni  approksimatsiyalashning  tanlangan  sxemasini  grafik 

ko’rinishda 3-rasmdagidek tasvirlash mumkin: 

---

12 

 

3-rasm foydalanilayotgan to’rtnuqtali oshkormas ayirmali sxemada yangi vaqt 

qatlamida uchta nuqta va eski vaqt qatlamida esa bitta nuqta olinayotganini yaqqol 

ko’rsatadi. 

Hosilalarni  bunday  approksimatsiyalash  uslubi  oshkormas  deb  atalishiga 

sabab vaqtning yangi qatlamidagi temperaturalar maydoni oshkormas ifodalangan, 

ya’ni ularni aniqlash uchun (5.2) tenglamalar sistemasini yechish zarur. 

Bu  tenglamalar  sistemasini  progonka  usuli  bilan  yechamiz.  Bu  hisob 

jaryonida  1-rasmdagi  1-soha  0  ≤