O‘zbekiston Respublikasi Oliy va O‘rta maxsus ta’lim vazirligi Toshkent Davlat Iqtisodiyot Universiteti

 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
8.4. Dispersiya va kvadratik o‘rtacha tafovut xossalari 
 
 
Dispersiya  va  kvadratik  o‘rtacha  tafovut  algebraik  amallarni  bajarish  uchun 
eng qulay o‘zgaruvchanlik me’yoridir. Bu jihatdan u arifmetik o‘rtachani eslatadi. 
 
Dispersiya  va  kvadratik  o‘rtacha  tafovutlarning  eng  muhim  xossalarini  ko‘rib 
chiqamiz. 
1. 
2
x
σ
 
va 
x
σ
 arifmetik o‘rtachaga 
х
 nisbatan hisoblanganda  bu ko‘rsatkichlar 
o‘zgaruvchanlikning eng kichik qiymatli me’yoridir,  ya’ni 
2
2
A
x
S
〈
σ
 bunda A
≠
х
.  
2
2
2
2
2
)
(
d
N
A
x
S
A
+
=
−
=
∑
σ
.  (8.3) 
Bu yerda: 
2
2
)
(
A
x
d
−
=
. Demak, 
2
2
x
A
S
σ
〉
, chunki 
2
2
2
d
S
A
x
−
=
σ
 
2. 
Qator  hadlarini  biror  A  o‘zgarmas  miqdorga  kamaytirsak  (yoki 
ko‘paytirsak),  ya’ni 
A
x
−
,  bu  hol    dispersiya  va  kvadratik  o‘rtacha  tafovutga  ta’sir 
etmaydi,  ya’ni  yangi 
A
x
y
−
=
  qator  uchun  bunday  ko‘rsatkich  boshlang‘ich  qator 
ko‘rsatkichlariga teng bo‘ladi:  
2
2
y
у
у
х
=
 (8.5) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
Qator  hadlarini  biror  o‘zgarmas  miqdor  k  marta  qisqartirilsa  (yoki 
ko‘paytirilsa),  dispersiya  k
2
  marta,  kvadratik  o‘rtacha  tafovut  k  marta  ozayadi  (yoki 
ortadi). 
 u=x/k   bo‘lsa  
/k
  
,
/k
2
2
2
x
y
x
y
σ
σ
σ
σ
=
=
 (8.6) 
 
4. 
7-bobda  xususiy  o‘rtacha  darajalari 
2
1
  
ва
  
х
х
bo‘lgan  ikki  qatordan  tarkib  topgan 
umumiy  qator  o‘rtacha  darajasi 
х
  orasida  quyidagicha  bog‘lanish  mavjudligi 
ko‘rsatilgan edi 
 
2
2
1
1
x
N
x
N
x
N
+
=
. 
 
Bu  yerda  N
1
,  N
2
  va  N  =  N
1
+N
2
    ayrim  va  umumiy  to‘plam  hajmi  (qatorlar 
variantlarining soni). 
x
x
x
,
,
2
1
- tegishli tartibda qator o‘rtacha darajalari.  
 
Xuddi shuningdek, umumiy qator dispersiyasi va kvadratik o‘rtacha tafovutini 
tarkibiy  qatorlarning  tegishli  ko‘rsatkichlari  orqali  ifodalash  mumkin.  Tarkibiy 
qatorlar dispersiyasi 
σ
2
1 
va 
σ
2
2
 , ularning o‘rtacha miqdorlari bilan umumiy o‘rtacha 
orasidagi  farqlarni 
1
1
d
x
x
=
−
  va 
2
2
d
x
x
=
−
  deb  belgilasak,  u  holda  (8.4)    formulaga 
binoan  bu  tarkibiy  qatorlarning  umumiy  o‘rtachaga  nisbatan  hisoblangan  o‘rtacha 
kvadrat tafovutlari  S
2
1
 = 
σ
2
1
 + d
2
1
  va S
2
2
 = 
σ
2
2
 + d
2
2
 teng bo‘ladi.  Shuning uchun 
umumiy qator uchun quyidagi ifodani yozish mumkin.   
  
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
d
N
d
N
N
x
+
+
+
=
σ
σ
σ
bundan 
 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
)
(
)
(
N
N
d
N
d
N
x
+
+
+
+
=
σ
σ
σ
 
 
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
)
(
)
(
N
N
d
N
d
N
x
+
+
+
+
=
σ
σ
σ
         (8.7) 
 
6. 
N  -  birinchi  natural  sonlar  uchun  kvadratik  o‘rtacha  tvafovutni  aniqlash  ham 
amaliy  ahamiyat  kasb  etadi.  Algebradan
12
  ma’lumki,  N  -  birinchi  natural  sonlar 
yig‘indisi N(N + 1)/2,  ularning kvadratlarining yig‘indisi esa N(N+1)(2N+1)/6  ifoda 
bilan  aniqlanadi.  Demak,  birinchi  natural  sonlar 
o‘rtachasi:  N(N  +  1)/2  :  N  =  (N  +  1)/2  va  (8.4) 
formulaga binoan ularning o‘rtacha kvadrat tafovuti esa 
quyidagi ifodaga teng: 
 
σ
2
 = (N+1)(2N+1)*1/6 - (N+1)
2
 *1/4   bundan  
σ
2
 = (N
2 
- 1)*1/12.   (8.8) 
Bu  formuladan  foydalanish  uchun  misol  qilib  belgi 
darajalarini  o‘lchamasdan,  to‘plam  birliklarini  biror 
umumiy  xususiyati  asosida  saflab  (bo‘ylab),  so‘ngra  tartib  sonlari  bilan  belgilab 
chiqish natijasida barpo bo‘ladigan N - rangli qatorlarni olish mumkin.  
 
8.5. Dispersiya va kvadratik o‘rtacha tafovut hisoblashning soddalashtirilgan 
usullari 
 
 
Yuqorida bayon etilgan dispersiya xossalariga tayanib bu ko‘rsatkichni, demak, 
kvadratik  o‘rtacha  tafovutni  ham  hisoblashni  bir  muncha  soddalashtirish  mumkin. 
Shunday yo‘llardan biri shartli moment usuli deb ataladi.  
 
8.5.1.Shartli moment usuli 
 
 
O‘rganilayotgan 
i
x
  qatorning  har  bir  hadidan  A-o‘zgarmas  miqdorni  ayirib, 
olingan  natijalarni  boshqa  k-o‘zgarmas  miqdorga  bo‘lsak,  boshlang‘ich 
i
x
 
  qator 
o‘rniga yangi 
i
y
 qator vujudga keladi, ya’ni  
k
A
x
y
i
i
−
=
 .  Agarda qator teng oraliqli 
variantalarga  ega bo‘lsa,  A  - konstanta qilib qator  o‘rtasidagi hadni  (variantani), k  - 
konstanta  qilib  esa  oraliq  kengligini  olish  kerak,  chunki  bu  holda  hisoblash  juda 
soddalashadi.  So‘ngra  yangi 
i
y
-qatorning  varianta  qiymatlari  va  ularning 
kvadratlaridan arifmetik o‘rtachalar hisoblanadi:  
 
                                                           
12
 
В.Назаров, Б.Т.Тошпылатов, А.Д. Дисумбетов. Алгебра ва сонлар назарияси 1-=исм, Т.: 
Ы=итувчи, 1993, 68-бет. 
Umumiy 
dispersiya 
o‘rtacha  juz’iy  dispersiya 
bilan 
juz’iy 
o‘rtachalar 
dispersiyasi 
yig‘indisiga 
teng.  Bu  dispersiyalarni 
qo‘shish 
qoidasi 
deb 
ataladi. 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
f
f
y
y
N
y
y
f
f
y
y
N
y
y
1
2
2
1
2
2
1
1
  
ёки
  
  
ва
  
  
ёки
 
 
natijada 
)
(
у
2
2
2
2
у
у
к
y
−
=
  
  
Bu  ko‘rsatkich  boshlang‘ich  haqiqiy  x
i
  -  qator  dispersiyasini  ham  aniqlaydi, 
chunki 
2
2
2
2
2
2
y
  
ёки
  
x
x
у
x
y
−
=
−
=
σ
σ
 (8.6).  
 
7.1-  jadval  ma’lumotlari  asosida  shartnomani  bajarish  darajalari  uchun 
dispersiya  va  kvadratik  o‘rtacha  tafovutlarni    umumiy  tartibda  va  shartli  moment 
usulida hisoblaymiz. 
Shartnoma 
bajarish darajasiga 
qarab  
korxonalar 
soni 
o‘rtacha 
shartnomani 
bajarish darajasi 
(%%) 
 
y
i
=(x
i
-105)/10 
korxonalar guruhi 
i
f
 
i
x
 
A=105 
k=10 
 
y
i
f
i
 
 
y
i
2
f
i
 
80 gacha 
1 
75 
-3 
-3 
9 
80-90 
3 
85 
-2 
-6 
12 
90-100 
5 
95 
-1 
-5 
5 
100-110 
9 
105 
0 
0 
0 
110-120 
7 
115 
1 
7 
7 
120-130 
5 
125 
2 
10 
20 
130 va yuqori 
4 
135 
3 
12 
36 
jami 
34 
 
 
15 
89 
%
57
.
15
4
.
242
4
.
242
34
8240
)
15
*
44
.
0
89
(
10
34
1
)
(
1
  
yoki
  
%.
57
.
15
4
.
242
4
.
242
)
1936
.
0
6176
.
2
(
*
100
)
44
.
0
6176
.
2
(
10
)
(
6176
.
2
34
89
%
4
.
109
105
10
*
44
.
0
44
.
0
34
15
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
1
7
1
2
2
7
1
7
1
=
=
=
=
−
=
−
=
=
=
=
=
=
−
=
−
=
−
=
=
=
=
=
+
=
+
=
≈
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
x
n
i
i
i
i
i
i
y
x
y
x
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
f
y
y
f
y
k
f
у
y
k
f
f
y
y
A
k
y
x
f
f
y
y
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
 
 
 
 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
8.6.  Dispersiyalarni qo‘shish qoidasi va undan bozor hodisalarni tahlil qilishda 
foydalanish yo‘llari 
 
 
Umumiy  dispersiya  (
2
i
x
σ
)  o‘rtacha  juz’iy  dispersiya  (
2
i
δ
)  ustiga  juz’iy 
o‘rtachalar  dispersiyasini  (
2
i
x
σ
)  qo‘shish  natijasidir.  Bu  dispersiyalarni  qo‘shish 
qoidasi deb ataladi. Unga binoan, umumiy dispersiya ikkita tarkibiy dispersiyalardan  
iborat  bo‘lib,  biri  to‘plam  qismlari  ichidagi  o‘zgaruvchanlikni  o‘lchaydi,  ikkinchisi 
esa - ularning juz’iy o‘rtachalar orqali ifodalangan qismlararo farqlarini (variatsiyani)  
ta’riflaydi. Masalan, agarda to‘plam birliklari biror muhim belgi asosida guruhlangan 
bo‘lsa,  u  holda  taqsimot    qatori  3  turdagi  dispersiyalar,  ya’ni  umumiy  dispersiya, 
guruhlararo  dispersiya  va  ichki  guruhiy  dispersiya  bilan  ta’riflanadi.  Umumiy 
dispersiya hamma omillar ta’siri ostida o‘rganilayotgan belgi qanday variatsiyaga ega 
ekanligini, guruhlararo dispersiya esa uning qaysi qismi guruhlash belgisining ta’siri 
natijasida  shakllanganini  o‘lchaydi.  Umumiy  o‘zgaruvchanlikning  qolgan  qismi 
boshqa  barcha  omillar  hissasi  bo‘lib,  uni  ichki  guruhiy  dispersiyalar  aniqlaydi. 
Natijada umumiy dispersiya guruhlararo dispersiya bilan o‘rtacha ichki dispersiyadan 
tarkib topadi, ya’ni 
2
2
2
i
i
x
x
x
σ
δ
σ
+
=
. 
bu yerda 
2
x
σ
 - umumiy dispersiya 
N
x
x
x
∑
−
=
2
2
)
(
σ
  bunda 
N
x
x
∑
=
 
2
i
х
σ
-guruhlararo dispersiya 
i
i
x
N
x
x
i
∑
−
=
2
2
)
(
σ
  bunda  i - guruhlar soni 
x
x
N
i
i
i
=
∑
  
har bir guruh uchun belgining o‘rtacha qiymati; 
      
2
i
δ
 - o‘rtacha ichki dispersiya  
∑
∑
=
i
i
i
N
N
i
2
2
δ
δ
 bunda 
i
i
i
i
N
x
x
∑
−
=
2
2
)
(
δ
 
x
-to‘plam bo‘yicha belgining ayrim qiymatlari; 
i
x
 - har bir  guruh bo‘yicha belgining ayrim qiymatlari; 
N
i
 - ayrim guruhlarga tegishli birliklar soni; 
N - to‘plam bo‘yicha birliklar soni  N=
∑
N
i
 . 
Misol: 
8.2-jadval 
Mintaqalar bozorida talab hajmi, baho darajasi va uning tebranish 
ko‘rsatkichlari     
 
 
 
 
 
Bozorlar 
Savdo xajmi,t 
N
i
 
1t bahosi (ming 
so‘m) 
i
x
 
ichki bozorda baholar tebranishi (juz’iy 
dispersiyalar)
2
i
δ
  
 Mintaqa N
1
 
455 
400 
900 
Mintaqa N
2
 
600 
350 
784 
Mintaqa N
3
 
900 
320 
829,4 
Respublika bozori 
2000 
 
 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
 
Respublika bozorida 1t mahsulotning o‘rtacha bahosi: 
 
 
x
x N
N
i
i
i
=
=
+
+
+
+
=
∑
∑
400 455 350 600 320 900
455 600 900
340
*
*
*
 ming so‘m. 
 
Mintaqalararo baho dispersiyasi   
1029
1955
205800
900
600
455
900
)
340
320
(
600
)
340
350
(
445
)
340
400
(
)
(
2
2
2
2
2
=
=
+
+
−
+
−
+
−
=
−
=
∑
∑
i
i
i
х
N
N
x
x
i
σ
 
 
Yoki 
i
х
σ
=
=
1029
32.08 mln.so‘m 
 
 
 
 
         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
O‘rtacha ichki mintaqaviy dispersiya 
.
m
so'
 
ming
  
52
,
28
2
,
813
 
yoki
  
2
.
813
1955
1626360
900
600
455
900
*
4
.
829
600
*
784
455
*
900
j
2
2
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
∑
∑
δ
δ
δ
i
i
i
i
N
N
              
 
 
 
 
 
 
Umumiy respublika bo‘yicha baho dispersiyasi  
=
+
=
2
2
2
i
x
i
x
σ
δ
σ
813.2
+
1029
=
1842.9 yoki 
92
.
42
2
.
1842
=
=
х
σ
 ming so‘m 
 
8.7. Muqobil (alternativ) belgi dispersiyasi 
 
 
Alternativ - o‘zagi lotincha «alter» - ikkitadan biriga asoslangan - frantsuzcha 
«alternative»  so‘z  bo‘lib,  bir-birini  o‘zaro  inkor  qiluvchi  imkoniyatlardan  yoki 
yo‘llardan har biri degan lug‘aviy ma’noga ega. Alternativ belgi deb o‘rganilayotgan 
to‘plam  birliklarining  bir  qismida  uchraydigan,  boshqa  qismida  esa  uchramaydigan 
xossalar ataladi. Masalan, iste’molchilarning bir qismi ayni tovarni iste’mol qilishga 
moyil, boshqa qismi moyil emas. 
 
Alternativ  belgi  qiymatlari  bunday  xossaga  ega  bo‘lgan  birliklar  uchun  «1» 
(bir)  barcha  ega  bo‘lmaganlar  uchun  esa  «0»  (nol)  deb  ifodalanadi.  Umumiy 
to‘plamda alternativ belgi kuzatilgan birliklar salmog‘i «R», kuzatilmaganlari esa «q» 
orqali  belgilanadi, ularning yig‘indisi birga teng, ya’ni p+q=1 
13)
.  
x
xf
f
f
f
f
f
p
q
p
=
=
+
+
=
+
=
∑
∑
1
0
1
0
1
0
1
0
 
 
 
Demak,  alternativ  belgining  o‘rtacha  qiymati  unga  ega  bo‘lgan  birliklarning 
to‘plamdagi 
salmog‘iga 
tengdir. 
Bu 
belgi 
uchun 
dispersiya    
pq
p
p
p
p
p
p
p
q
p
p
p
p
q
p
p
p
p
q
p
p
p
d
x
x
f
f
x
x
p
=
−
=
−
=
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
−
+
−
=
−
=
−
=
∑
∑
∑
)
1
(
2
)
(
2
2
)
0
(
)
1
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
σ
     demak,  
pq
p
=
2
σ
              (8.8) 
 
                                                           
13)
 
chunki r=f
1
/
∑
f va  q=f
0
/
∑
f bo’lgani uchun
  p+q=f
1
/
∑
f+f
0
/
∑
f=
∑
f/
∑
f=1
.
 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
Alternativ belgi dispersiyasining maksimal qiymati pq=0,5*0,5=0,25 teng.  
Variatsiyani  o‘rganish  uchun  quyidagi  dispersiya  turlari  hisoblanadi  va  tahlil 
qilinadi.  
 
Salmoqning ichki guruhiy dispersiyasi 
              
i
i
i
i
p
q
p
p
p
=
−
=
)
1
(
2
δ
                                               (8.9) 
 
 
Ichki guruhiy dispersiyalardan o‘rtacha dispersiya  
δ
p
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
p
p
p q f
f
p
p d
p q
2
2
1
1
=
−
=
=
−
=
∑
∑
∑
(
)
(
)
                 (8.9a) 
 
Guruhlararo dispersiya 
∑
∑
∑
−
=
=
−
i
i
i
i
i
p
d
p
p
f
f
p
p
i
2
2
2
)
(
)
(
σ
                           (8.10) 
bu yerda: f
i
 - ayrim guruhlardagi birliklar soni; 
 
i
p
- ayrim guruhlarda o‘rganilayotgan belgi salmog‘i; 
 
p
 - butun to‘plam bo‘ycha o‘rganilayotgan belgi salmog‘i 
p
p f
f
p d
i
i
i
i
i
=
=
∑
∑
∑
  
bu yerda  
d
f
f
i
i
i
=
∑
   
 
Umumiy dispersiya  
pq
q
p
p
p
p
=
=
−
=
)
1
(
2
σ
            (8.11). 
 
Yuqorida uchta dispersiyalar o‘zaro quyidagicha bog‘langan: 
 
2
2
2
i
i
p
p
p
σ
δ
σ
+
=