1 Mavzu Tasodifiy hodisalar ustida amallar. Ehtimollikning klassik ta‟rifi

4-masala.  Komandada  15  sportchi  bulib  ularning  5  tasi  sport  ustasi. 

Sportchilar  ichidan  qura  tashlash  orqali  3  sportchi  tanlanadi.  Tanlangan 

sportchilarning hammasi sport ustasi bo`lishi ehtimolligini toping.  

Yechilishi. 1-usul. 

 A

1

 = {birinchi sportchi sport ustasi bo`lish hodisasi}    

A

2

 = {ikkinchi sportchi sport ustasi bo`lish hodisasi}    

A

3

= {uchinchi sportchi sport ustasi bo`lish hodisasi} . 

1

2

3

A

A A A







=  {uchala sportchi sport ustasi bo`lish hodisasi} . 

1

2

,

,...

n

A A

A

 hodisalar bog`liq bo`lgan hodisalardir. Demak,  

1

1

2

1

2

3

1

2

3

5

4

3

2

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

15 14 13

21

A

A A

P A

P A A

A

P A

P

A

P

A





















 

2-usul.  

A

=  {uchala sportchi sport ustasi bo`lish hodisasi} .  

Klassik tarifga ko`ra:          

3

5

3

15

2

( )

91

A

C

P A

C









 

Qo`shish va ko`paytirish qoidalarini birgalikda qo`llanishiga doir masala. 

5-masala.  Ikki  mergan  nishonga  qarata  o`q  uzmoqda.  Bitta  o`q  uzishda 

nishonga tekkizish ehtimolligi birinchi mergan uchun 0,5 , ikkinchi mergan uchun 

0,9  ga  teng.  Bir  yo`la  o`q  uzishda  merganlardan  faqat  bittasining  nishonga 

tekkizish ehtimolligini toping.  

Yechilishi. Belgilashlar kiritamiz. 

V

1

 – faqat A

1

 hodisa ro`y berdi, yani 

1

1

2

B

A A





 

V

2

 – faqat A

2

 hodisa ro`y berdi, yani 

2

1

2

B

A A





 

Shunday qilib, A

1,

 A

2 

hodisalardan faqat bittasining ro`y berish ehtimolligini 

topish  uchun  V

1,

  V

2 

  hodisalardan  qaysinisi  bo`lsa  ham  baribir,  bittasining  ro`y 

berish ehtimolligi 

1

2

(

)

P B

B



 bo`ladi.  

B

1,

 B

2 

 hodisalar birgalikda bo`lmaganligi uchun qo`shish qoidasiga ko`ra  

1

2

1

2

(

)

( )

(

)

P B

B

P B

P B







 

2

1

2

1

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

q

р

А

Р

А

Р

А

А

Р

В

Р







 

2

1

2

1

2

1

2

(

)

(

)

(

) (

)

P B

P A A

P A P A

q p





 

 

Demak, 

1

2

1

2

1

2

(

)

0,5 0,1 0,5 0,9

0, 05 0, 45

0,5

P B

B

p q

q p



   















 

 

                                                                                                        5.1- ilova 

Masalalarni yeching 

1. Bog`da  10  ta  qizil  atirgul, 8 ta oq  atirgul  va 12  ta  sariq atirgul ochilgan. 

Rangli atirgul uzilgan bo`lish ehtimolligini toping. Javob: 

8

15

 

2.  Sumkada  5  ta  qizil  qalam,  4  ta  yashil  qalam  va  1  ta  rangsiz  qalam  bor. 

Sumkadan rangli qalam olingan bo`lish ehtimolligini toping. Javob: 0,9 

3. Bitta lotereyaga yutuq chiqish ehtimolligi 

1

7

ga teng. 3 ta bilet sotib olindi. 

Ularning a) hammasiga;b) hech qaysisiga; 

c) hech bo`lmaganda bittasiga yutuq chiqish ehtimolligini toping. 

 Javob:   

3

3

3

3

3

1

6

6

)

)

)1

7

7

7

a

á

â



 

4. 4 ta bir- biriga bog`liqsiz ravishda otilgan o`qning xech bo`lmaganda bir 

marta  nishonga  tegish  ehtimolligi  0,9984  ga  teng.  Bir  marta  otilgan  o`qning 

nishonga tegish ehtimolligini toping. Javob: 0.8 

5.  Ikki  mergan  nishonga  qarata  o`q  uzmoqda.  Bitta  o`q  uzishda  nishonga 

tekkizish  ehtimolligi  birinchi  mergan  uchun  0,6  ,  ikkinchi  mergan  uchun  0,7  ga 

teng. Bir yo`la o`q uzishda merganlardan:  

a) faqat bittasining nishonga tekkizish; 

b) hech bo`lmaganda bittasining nishonga tekkizish; 

c) ikkala merganning nishonga tekkizish 

ehtimolligini toping. Javob: a) 0,46  b) 0,6  

v) 0,42 

6.  Yashikda  10  ta  detal  bor,  ulardan  7  tasi  bo`yalgan.  YAshikdan  tasodifiy 

ravishda  4  detal  olindi.  Hamma  olingan  detallar  bo`yalgan  bo`lish  ehtimolligini 

toping. Javob: 

1

6

 

7. Ikki sportchidan har birining mashqni muvaffaqiyatli bajarish ehtimolligi 0,5 ga 

teng.  Sportchilar  mashqni  navbat  bilan  bajardilar,  bunda  har  bir  sportchi  o`z 

kuchini  ikki  marta  sinab  ko`radi.  Mashqni  birinchi  bo`lib  bajargan  sportchi 

mukofot  oladi.  Sportchilarning  mukofotni  olishlari  ehtimolligini  toping.  Javob: 

0,9375

 

 

 

                 6- ilova 

1.  Ikki  mergandan  xar  birining  o`qni  nishonga  tekkizish  ehtimolligi  0,3  ga 

teng.  Merganlar  navbat  bilan  o`q  uzadilar,  lekin  har  biri  ikkitadan  o`q  uzadi. 

Birinchi  bo`lib  nishonga  o`q  tekkizgan  mergan  mukofot  oladi.  Merganlarning 

mukofot olishlari ehtimolligini toping. Javob: 0,76 

2.Xaltaga 1 dan 10 gacha nomerlangan 10 ta bir xil kubik bor. Tavakkaliga 

bittadan  3  ta  kubik  olinadi  va  olingan  kubik  xaltachaga  qaytarib  solinadi.  Birin- 

ketin 1, 2, 3 nomerli kubiklar chiqish ehtimolligini toping. Javob: 0,001 

3.  Talaba  programmadagi  25  ta  savoldan  20  tasini  biladi.  Talabaning 

imtihon oluvchi taklif etgan  uchta savolni bilish ehtimolligini toping. Javob: 

57

115

  

                                

4.1.  Mavzu  

To`la ehtimollik va Bayes formulalari. 

 

O`quv mashg`ulotida talim texnologiyasi modeli 

Mavzu (raqami) ……3.1.……(nomi)……  To`la ehtimollik va Bayes formulalari.  

Vaqt 2 soat  

Talabalar soni 30 ta 

O`quv mashg`ulotining shakli va turi 

Amaliy mashg`ulot 

Mavzu rejasi 

1. To`la ehtimollik formulasi.  

2. Bayes formulasi. 

O`quv mashg`ulotining maqsadi. 

Misol  va  masalalar  yordamida 

to`la  ehtimollik  formulasi  va  Bayes 

formulasi 

haqida, 

ehtimolliklar 

nazariyasida    axamiyati,  imkoniyatlari 

to`g`risida 

talabalarga 

bilim 

va 

ko`nikmalar berish 

Pedagogik vazifalar: 

O`quv faoliyati natijalari: 

1.  Misol  va  masalalar  yordamida 

to`la  ehtimollik  formulasi  hususida 

bilim berish. 

2.  Masalalarni    Bayes  formulasidan 

foydalanib yechishni o`rgatish. 

 

1.  Misol  va  masalalarni  yechish  orqali 

to`la ehtimollik formulasini o`rganish. 

 

2.  Masalalarni  yechish  orqali  Bayes 

formulasi  haqida,  fandagi  axamiyati, 

tatbiq etish soxalari hususida bilimga 

ega  bo`lish. 

O`qitish vositalari. 

O`quv majmua, masalalar kitobi, testlar, 

doska, bo`r, proektor.  

O`qitish usullari. 

Savol 

javob,tushuntirish,

“Insert” 

interfaol metodi 

O`qitish shakllari. 

Gurux gurux, Ommaviy  

O`qitish sharoiti. 

Auditoriya, doska, elektr taminoti. 

 

 Mavzu bo`yicha o`quv mashg`ulotlarning texnologik xaritasi 

 

Ish 

bosqichlari 

va vaqti 

Faoliyat 

Ta`lim beruvchi 

Ta`lim oluvchilar 

1-bosqich. 

Mavzuga 

1.1. O`quv mashg`ulotining mavzusi, maqsadi 

va rejasini tanishtiradi. (1-ilova). 

Eshitadi. Yozadi.  

 

kirish  

(10 minut) 

1.2.  Mavzuni  tushuntirish  uchun  o`tgan 

darslarga doir masalalar va savollar beriladi. 

(2- ilova) 

Masalalarni yechadi 

va savollarga javob 

beradi 

2-bosqich. 

Asosiy qism 

(60 minut) 

2.1.  To`la  ehtimollik  formulasini  masalalar 

yordamida tushuntiradi.(3, 3.1- ilovalar) 

2.2.  Masalalar  yordamida  Bayes  formulasi 

tushuntiriladi. Talabalar doskaga taklif etiladi. 

Masala yoziladi, uni yechib analiz  qilinadi. (4, 

4.1- ilovalar) 

Yozadi. Tinglaydi.  

 

Javob beradi 

 

3-bosqich. 

Yakunlovchi 

(10 minut) 

3.1. Guruhlarning faolligi baxolanadi 

3.2. Topshiriqlar beriladi.(5- ilova) 

Tinglaydi. 

Yozadi. 

 

 

 

            1- ilova 

MAVZU:  To`la ehtimollik va Bayes formulalari. 

REJA 

1. To`la ehtimollik formulasi.  

2. Bayes formulasi. 

  O`quv  mashg`ulotining  maqsadi:  Misol  va  masalalar  yordamida  to`la 

ehtimollik  formulasi  va  Bayes  formulasi  haqida,  uning  ehtimolliklar 

nazariyasida              axamiyati,uning  imkoniyatlari  to`g`risida  talabalarga 

bilim va ko`nikmalar berish 

O`quv  faoliyatining  natijasi:  1.  Misol  va  masalalarni  yechish  orqali  to`la 

ehtimollik formulasini o`rganish. 

2.  Masalalarni  yechish  orqali  Bayes  formulasi  haqida,  fandagi  axamiyati, 

tatbiq etish soxalari hususida bilimga ega  bo`lish.

 

 

 

               2- 

ilova 

 

SAVOLLAR 

1.

Birgalikda  bo`lmagan  hodisalarning  ehtimolliklarini  qo`shish  qoidasini 

ayting. 

2.Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimolliklarini qo`shish qoidasini ayting. 

3.Bog`liqsiz hodisalar ehtimolliklarini     ko`paytirish qoidasini ayting. 

 4. Bog`liq hodisalar ehtimolliklarini ko`paytirish qoidasini  ayting. 

Masalalar 

1. Ikki mergan nishonga qarata o`q uzmoqda. Bitta o`q uzishda nishonga tekkizish 

ehtimolligi birinchi mergan uchun  0,6, ikkinchi mergan uchun 0,9ga teng. Bir 

yo`la o`q uzishda merganlardan faqat bittasining nishonga tekkizish ehtimolligini 

toping. 

 A) 

42

,

0

        B)  

32

,

0

      C)  

2

,

0

       D) 

16

,

0

 

2. Ikki mergandan har birining o`qni nishonga tekkizish ehtimolligi 0,4 

ga teng. Merganlar navbat bilan o`q uzadilar. Ularning har biri ikkitadan 

o`q  uzadi.  Birinchi  bo`lib  nishonga  o`q  tekkizgan  mergan  mukofot 

oladi. Merganlarning mukofot olishlari ehtimolligini toping. 

 A) 

6

,

0

        B)  

7704

,

0

     C)  

8704

,

0

       D) 

4

,

0

 

 

 

 

       

 

 

 

    3 - ilova 

 

          

To`la 

gruppa 

tashkil 

etadigan, 

birgalikda 

bo`lmagan 

1

2

,

,...,

n

B B

B

 

hodisalarning (gipotezalarning) biri ro`y bergandagina ruy berishi mumkin bo`lgan 

A  hodisaning  ehtimolligi  gipotezalardan  har  birining  ehtimolligini  A  hodisaning 

tegishli shartli ehtimolligiga ko`paytmalari yig`indisiga teng: 

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

A

P

B

P

A

P

B

P

A

P

B

P

A

P

n

B

n

B

B





















  

Bu formula to`la ehtimollik formulasi deyiladi.  Bu erda 

1

)

(

)

(

)

(

2

1













n

B

P

B

P

B

P

         

1-masala.  2ta  qopda  shar  bor.  Birinchi  qopda  8ta  qizil,  4ta  oq  shar  bor. 

Ikkinchi  qopda  4ta  qizil,  6ta  oq  shar  bor.  Tavakkaliga  tanlangan  qopdan 

tavakkaliga 2ta shar olindi. Ikkala sharning oq chiqish ehtimolligini toping. 

Yechilishi: A = {olingan 2ta sharning oq chiqish hodisasi}.  

Bu erda ikkita taxmin (gipoteza) qilish mumkin: 

1

В

 =  {olingan 2ta shar birinchi qopdan olinganlik hodisasi } 

2

В

 ={ olingan  2ta shar ikkinchi qopdan olinganlik hodisasi} 

Hammasi  bo`lib  ikkita  gipoteza  mavjud  bo`lib, shu  bilan  birga  ular  shartga 

ko`ra  teng  imkoniyatli  va  gipotezalar  ehtimolliklari  yig`indisi  birga  teng  (chunki 

ular  hodisalarning  to`la  gruppasini  tashkil  etadi)  bo`lgani  uchun  gipotezalarning 

har birining  ehtimolligi 1 ∕2 ga teng, yani  

2

1

)

(

)

(

2

1





B

P

B

P

 

Birinchi qopdan 2ta oq shar chiqish ehtimolligi klassik tarif buyicha 

1

2

4

2

12

1

( )

11

B

C

P

A

C





 

Ikkinchi qopdan 2ta oq shar chiqish ehtimolligi  

2

2

6

2

10

1

( )

3

B

C

P

A

C





 

Tavakkaliga  olingan  qopdan  ikkala  sharning  oq  chiqish  ehtimolligini  to`la 

ehtimollik formulasidan foydalanib topamiz: 

33

7

3

1

2

1

11

1

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1



















A

P

B

P

A

P

B

P

A

P

B

B

 

 

       

                                                                                                         3.1-ilova 

 

“Insert ” interfaol metodi: 

√   -  men bilaman; 

+   -  yangi axborot; 

-  -  meni bilganlarimga zid; 

?   -  men uchun tushunarsiz. 

       

                                                                                                            

 

 

               

4- ilova

 

 

Aytaylik,  A  hodisalarning  to`la  gruppasini  tashkil  etadigan,  birgalikda  bo`lmagan 

1

2

,

,...,

n

B B

B

  hodisalar  (gipotezalar)ning  biri  ro`y  berishi  shartdagina  ro`y  berishi 

mumkin  bo`lsin.  Agar  A  hodisa  ro`y  bergan  bo`lsa,  u  holda  gipotezalarning 

ehtimolliklarini ushbu Bayes formulalari bo`yicha qayta baholash mumkin: 

(

)

( )

(

)

,

1, 2,...,

( )

i

i

i

B

A

P B

P

A

P B

i

n

P A







 

Bu yerda  

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

A

P

B

P

A

P

B

P

A

P

B

P

A

P

n

B

n

B

B





















 

2-masala.  Maktabdagi  o`qkuvchilarning  60%ini  qiz  bolalar  tashkil  qiladi. 

80%  qizlar va 75%  o`g`il bolalar teatrga borish uchun biletga ega.  O`qituvchilar 

xonasiga bitta o`quvchi tomonidan yo`qotilgan bilet olib kirildi. Uning qiz bolaga 

tegishli bo`lish ehtimolligini toping. 

Yechilishi: A=    { biletning o`quvchiga tegishli bo`lish hodisasi}  

Bu yerda ikkita taxmin (gipoteza) qilish mumkin: 

1

В

 =  {  yo`qolgan bilet qiz bolaga tegishli bo`lish hodisasi} 

2

В

  =  {  yo`qolgan  bilet o`g`il bolaga tegishli bo`lish hodisasi} 

6

,

0

100

60

)

(

1





B

P

           

1

( )

B

P

A

 = 80 ∕100=0,8 

4

,

0

100

40

)

(

1





B

P

          

2

( )

B

P

A

 = 75 ∕100=0,75 

Yo`qolgan  bilet  o`quvchiga  tegishli  bo`lish  ehtimolligi  to`la  ehtimollik 

formulasiga ko`ra: 











)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

A

P

B

P

A

P

B

P

A

P

B

B

 0,6 ∙ 0,8 + 0,4 ∙ 0,75 = 0,78 

Yo`qolgan  bilet  qiz  bolaga  tegishli  bo`lish  ehtimolligi  Bayes  formulasiga 

ko`ra:       

1

1

1

(

)

( )

0, 6 0, 4

0, 48

8

(

)

( )

0, 78

0, 78

13

B

A

P B

P

A

P B

P A













 

 

 

        

4.1- ilova 

1.  Yashikda  1-zavodda  tayyorlangan  12ta  detal,  2-zavodda  tayyorlangan 

20ta  detal  va  3-zavodda  tayyorlangan  18ta  detal  bor.  1-zavodda  tayyorlangan 

detalning  alo  sifatli  bo`lish  ehtimolligi  0,9  ga  teng,  2-zavodda  va  3-zavodda 

tayyorlangan  detallar  uchun  bu  ehtimollik  mos  ravishda  0,6  va    0,9  ga  teng. 

Tavakkaliga olingan detalning alo sifatli bo`lish ehtimolligini toping. Javob: 0,78