4-Ma’ruza Birinchi tartibli bir jinsli tenglamalar. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Bernulli tenglamasi. To’la differensialli tenglamalar

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. 

3-Ta’rif. Noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo’ldan 

  

  

                                                         (7) 

ko’rinishdagi  tenglamalarga  birinchi  tartibli  chiziqli  differensial  tenglama  deb  ataymiz,  bu 

yerda 

     va       uzluksiz funksiyalar (yoki o’zgarmas sonlar). 

 

(7) tenglamaning yechimini ikkita funksiyaning ko’paytmasi shaklida izlaymiz: 

                                                              (8) 

 

(8) tenglikning ikkala tomonini differensiallasak 

  

  

   

  

  

   

  

  

 

tenglikka ega bo’lamiz. 

  

  

 hosilaning bu ifodasini (7) tenglamaga qo’yamiz: 

 

  

  

   

  

  

          

va uni 

  (

  

  

    )    

  

  

                                                    (9) 

ko’rinishda yozib olamiz. 

  funksiyani 

  

  

                                                                    (10) 

bo’ladigan qilib tanlaymiz. Bu tenglamada o’zgaruvchilarni ajratamiz: 

  

 

        

Uni integrallasak 

      

 

    | |          

yoki 

     

 

 

      

 

---

6 

 

funksiyaga  ega  bo’lamiz.  Bizga  (10)  tenglamaning  birorta  noldan  farqli  yechimi  yetarli, 

shuning uchun 

     funksiya sifatida 

        

      

                                                       (11) 

funksiyani olamiz, bu yerda  

      berilgan      funksiyaning birorta boshlang’ichi. 

 

     uchun topilgan ifodani (9) tenglamaga qo’ysak (

  

  

         ekanligini inobatga 

olgan holda) 

    

  

  

       

tenglik hosil bo’ladi. Bundan esa 

     uchun 

        

    

    

                

     

       

ifodani topamiz. 

     va      funksiyalarning topilgan ifodalarini (8) tenglikka qo’ysak 

     

      

[       

     

      ]                                  (12) 

(12) birinchi tartibli chiziqli tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz.