Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан ўзбекистон республикаси

L
dx
x
A
V
0
)
(
и геометрическое ограничение 
A
x
A

)
(
, 
где 
A
-заданная минимальная величина. 
Согласно вариационной формулировке, оптимальное решение А(х) соответствуюўая
мода у (х) и оптимальное собственное значение λ доставляют стационарное значение 
расширенному функционалу (2): 











L
i
i
i
r
L
p
x
y
f
Q
dx
x
y
f
x
q
x
bpA
dx
x
y
e
x
cEA
0
0
*
)]
(
[
)]
(
[
)
(
)
(
)]
(
[
)
(

ϰ
dx
A
x
A
x
g
x
V
dx
x
A
L
L














0
2
0
]
)
(
)
(
)[
(
)
(

(3) 

---

148 
Здесь постоянная 
ϰ и функция 
)
(x

– лагранжевы множители, вещественная вспомогательная 
функция 
)
(x
g
введена для преобразования геометрического ограничения 
A
x
A

)
(
в 
ограничение типа равенства. Ограничения на минимум площади поперечного сечения в задачах
оптимального проектирования были впервые рассмотрены Тейлором в 1968 г.
Итак, принцип Рэлея и введение множителей Лагранжа позволяют варьировать
*

по
у(х), А(х ) и 
)
(x
g
независимо, а соответствующие уравнения Эйлера–Лагранжа с учетом 
равенства (2) и уже упоминавшиется ограничения составляют полный набор необходимых 
условий оптимальности. Вместе с естественными краевыми условиями и условиями на 
внутренних опорах, условиями типа скачка во внутренних точках х=х
i
расположения 
сосредоточенных масс и условиями непрерывности на других участках конструкции основные 
уравнения можно представить в виде отношение Рэлея для λ (2); (4 а) 
дифференциальное уравнение задачи из табл.
L
х 

0
; (4 б) 




)]
(
[
)
(
)]
(
[
)
(
1
1
x
y
f
x
A
brp
x
y
e
x
pcEA
r
p

ϰ,
u
x
х 
; (4 в) 
,
)
(
A
x
A

u
x
х 
,
)
(
A
x
A

c
x
х 
; (4 г) 


L
V
dx
x
A
0
)
(
(4 д) 
Здесь после исключения 
)
(x

и 
)
(x
g
введены объединения подынтервалов х
с
и 
u
x
на 
которых соответственно А (х) выходит на ограничение и не выходит на него. Подынтервалы х
с
 
и 
u
x
в совокупности покрывают весь интервал 
1
0

 х
. 
Кроме того лагранжев множитель 
ϰ определен заново после деления старого ϰ на 
знаменатель в выражении для λ.
Уравнение (4 в) называют условием оптимальности. Важно , что область его применения 
ограничена объединениями заранее не известных подынтервалов 
u
x
, в пределах которых 
переменная проектирования А(х) не выходит на ограничение. Конкретный вид условия 
оптимальности в конкретной задаче легко определить при помощи табл. Обратим внимание на 
то, что второе слагаемое в левой части условия оптимальности что второе слагаемое в левой 
части условия оптимальности отсутствует в задачах о дивергенции и классической потере 
устойчивости, для которых 
0

b
. Первое слагаемое условия оптимальности можно 
интерпретировать как среднюю плотность энергии деформации в тех частях конструкции, 
которые изменяются при варьировании. Установлено, что постянство этой плотности энергии 
является общим принципом для задач оптимизации конструкций без учета геометрических 
ограничений при статических нагрузках. 
Вмести с граничными и другими вышеупомянутыми условиями уравнения (4а)–(4д) 
составляют нелинейную обыкновенную интегро-дифференциальную задачу на собственные 
значения, в который подлежат определению оптимальное собственное число λ, оптимальное 
распределение материала конструкции А(х) (что включает нахождение подынтервалов 
u
x
и  х
с
), 
соответствующая основная мода у (х) и множитель Лагранжа 
ϰ. 
Нелинейность системы уравнений и ее замкнутость обусловлены постоянными р и г,
характеризующими поперечное сечение. Случай р=г=1, очевидно, наиболее прост для 
исследования, так как такие задачи линейны по переменной проектирования А(х) не входящей 
при этих условиях в (4 в). Хотя последнее уравнение и остается нелинейным по смещению, 
часто можно получить аналитическое решение задачи при р=г=1, см ., например, Прагер и 
Тейлор. В задачах о потере устойчивости, где b=0 и слагаемые, содержащие г, исключаются, 
аналитические решения были получены при р=2, как например в [19]. В задачах оптимизации 
колебаний при значениях р не равных единице, в силу взаимосвязанности и нелинейности 
основных уравнений обычно возможны только численные решения. 
На 1 и 2 приведены результаты решения задач последнего типа. Другой двойственной 
постановкой задачи оптимального проектирования является следующая: 
Считая поперечное сечение А(х) конструкции переменной проектирования, а объем 
конструкции 


L
dx
x
A
V
0
)
(
функцией цели, определить такой проект, у которого минимально V 

---

149 
при ограничениях на основное собственное число λ и геометрическом ограничении 
A
x
A

)
(
на минимум А(х), где 
A
– задано. Как и разнее, длина и материал конструкции, форма 
поперечного сечения и граничные условия предполагаются заданными, а собственное число 
считается простым. 
Система необходимо условий оптимальности в этой постановке задачи легко выводится 
при варьировании функционала






























L
L
i
i
i
r
L
р
L
dx
A
x
A
x
g
x
x
y
f
Q
dx
x
y
f
x
bpA
dx
x
y
е
х
сЕА
dx
x
A
V
0
2
0
0
0
]
)
(
)
(
)[
(
)]
(
[
)]
(
[
)
(
)]
(
[
)
(
)
(



(5) 
Где к функционалу V при помощи лагранжевых множителей 

и 

(х) присоединены 
отношение Рэлея и геометрическое ограничение соответственно. 
В результате вариационного анализа находим что данная задача оптимального 
проектирования также описывается уравнениями (4 а)-(4 д) с единственным исключением : 
лагранжев множитель в (4 в) заменяется на 1/

где 

определено заново тем же способом, что 
и ранее. В новой постановке неизвестными подлежащими определению, являются 
минимальный объем V оптимальное распределение А(х) материала конструкции, основная 
мода у (х) и множитель Лагранжа 

. 
Благодаря сходству основных уравнений, двойственные задачи оптимизации, вообще 
говоря, эквивалентны в том смысле, что решение задачи во второй постановке является в то же 
анализа, проведенного в который явился обобщением работы Браха следует что среди всех 
рассматриваемых здесь задач эквивалентность может быть утеряна только в задачах 
оптимизации при колебаниях для р= г, q(x)=0 и Q
i
=0. 
Тейлор первым установил двойственность двух различных постановок задач 
оптимизации конструкций: этому вопросу посвящены недавние работы Ваврика и Уорнера и 
Сейраняна. 
Литература 
1. Варга Д.Ж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными 
уравнениями. –М.: Наука 1977 212 с. 
2. Бюттнер О., Хампе Э. Сооружение Несущая конструкция –Несущая структура . –М.: 
Строиздат 1983 337 с.