Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан ўзбекистон республикаси

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ДВУХ ТРЁХСЛОЙНЫХ БАЛОЧНЫХ 
ПЛИТ, ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ НЕОДНОРОДНОМ ОСНОВАНИИ 
К. Мамасолиев (СамГАСИ) 
 
Abstract 
In this work, it is considered problem about interaction of two three-layer beam plates, located 
on certain distance, from each other with the elastic non-uniform bases. The problem decision 
mathematics is proved by means of special orthogonal polynomials Gegenbauer. 
Рассматривается задача об изгибе двух трѐхслойных балочных плит, расположенных 
рядом на определенном расстоянии друг от друга, взаимодействующих с линейно-
деформируемым неоднородными основаниями. Каждая трѐхслойная балочная плита состоит из 
двух слоев, соединенных упругими поперечными связями называемые заполнителями, 
передающие только нормальные усилия равные 
( 
)
.Здесь 
– прогибы, 
соответственно первой и второй плиты; 
– коэффициенты жѐсткости заполнителя; индекс
означает параметрысоответственно первой и второй трѐхслойной плиты. Предполагается 
что плиты загружены произвольными внешними нагрузками 
.Нижние плиты 
взаимодействуют с неоднородными основаниями на участках 
. 
За упругое неоднородное основание принимается упругая полуплоскость, модуль 
деформации которой измеряется по степенному закону 
. 
Здесь 
– модуль деформации на глубине 
; 
– показатель неоднородности, 
который 
. 
Дифференциальные уравнения изгиба двух трѐхслойных плит, на основании выше 
принятых предложений, можно представить в виде: 
( 
)
( 
)
Где 
,
– цилиндрические жесткости, соответственно нижней и верхней плиты; 
– 
реактивные давления неоднородного основания. 
Уравнения связывающие осадку основания 
с реактивными давлениями 
в 
условиях плоской деформации, согласно [1] представляется виде 
∫
| |
Где 
– некоторые постоянные, зависящие от механических параметров неоднородного 
грунта основания. Двусторонняя связь между поверхностями нижних плит и неоднородного 
основания, как контактные условия, записываются следующим образом: 
[ 
] [ 
]
Рассматривается задача сводиться к решению системы дифференциальных уравнений (1) 
- (4). Реактивные давления оснований 
как неизвестная функция разыскивается в виде
∑
‖ 
‖

---

167 
где
‖ 
‖ –соответственно ортогональные полиномы Гегенбауэра и их нормы на 
отрезке
[
],
– весовые функции полиномов Гегенбауэра; 
– неизвестные пос-
тоянные, подлежащие к определению. Учитывая ортогональности полиномов Гегенбауэра, из 
уравнения равновесия балочных плит, можно определить первых двух коэффициентов ряда (5): 
‖ 
‖
‖ 
‖
где 
– соответственно сумма всех вертикальных сил и сумма их моментов 
относительно середины балочных плит. Для интегрирования сингулярного интеграла (3) 
используем из следующего билинейного разложения [1] 
| |
∑ (
)
Подставляя (5) в (3) имея в виду разложение (7) и учитывая ортогональность полиномов 
Гегенбауэра [2] для осадки основания, получим: 
∑
(
) ‖ 
‖
Общее решение системы уравнений (1) и (2) с учетом (5) представляется в виде: 
∑[ 
̅
]
∑
[ 
]
∑[ 
̅
]
∑
[ 
]
где
[ 
]
(
)
∫
( 
) [
]
‖ 
‖
(
)
∫
( 
)
‖ 
‖
–известные функции А. Н. Крылова; 
̅
– постоянные интегрирования, 
определяемые из граничных условий рассматриваемой задачи. 
Неизвестные постоянные 
определяются из условий контакта(4). Для 
этого, выражения (8) и (9) подставляются а (4), затем обе части полученные 
равенстваумножаются на
‖ 
‖

---

168 
И интегрируется в области контакта. Выполняя интегрирования можно получить 
бесконечную систему алгебраических уравнений с бесконечными неизвестными постоянных 
: 
∑
( 
)
 
Где 
∫ { 
∑[ 
̅
]
}
‖ 
‖
∫ [ 
] 
‖ 
‖
(
) ∫ ‖ 
‖
‖ 
‖
Учитывая непрерывность подинтегральных функций, а так же из ортогональности 
полиномов Гегенбауэра с соответствующим весом, в (12), (13) и (14) можно убедиться [1,3] что 
| 
|
и ряд 
∑[ 
]
 
сходиться. Если обозначим сумму ряда (16)через 
то есть: 
∑| 
|
Тогда можно написать следующие неравенства 
∑| 
|
∑| 
|
∑| 
|
где 
∑| 
|
∑| 
|
 
Здесь можно показать [3], что при 
каждая сумма (18) и (19) по отдельности 
стремиться к нулю, то есть 
при 
. Отсюда следует, что 
 
Оценки (15) и (20) указывает, что бесконечная система алгебраических уравнение 
бесконечными неизвестными (11) хотя бы квазирегулярна. Из за регулярности можно ее решать 
методом редукции. Решая бесконечную систему алгебраических уравнений с бесконечными 
неизвестными методом редукции, определяются неизвестные постоянные 
, на основе 
которых можно будет определить внутренние усилия в плитах и законы распределения 
давлений оснований, а так же взаимное влияние двух трехслойных балочных плит, 
расположенных рядом в определенном расстоянии друг от друга.
Из полученных результатов, в частности, можно получить, решения конкретных 
задачсоответствующие заданным внешним нагрузкам, а так же получитьрезультаты 
исследования работы [2].