Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

Tekshirish:  
                                                    
Bu yerdan ko‘rinadiki, berilgan misolning yechimi to‘g`ri topilgan. 
e)  
                 da                         , ya‘ni                bo‘lgani 
va  84  soni  3  ga  bo‘lingani  uchun  berilgan  taqqoslama  3  ta  yechimga  ega  bo‘ladi. 
Berilgan  taqqoslamani  3  ga  qisqartirib,  yagona  yechimga  ega  bo‘lgan 
     
              taqqoslamani  hosil  qilamiz.  Endi   
  
  
    kasrni  uzluksiz  kasrlarga 
yoyamiz.  Bunda 
                                                                  
       bo‘lgani  uchun   
 
=2, 
 
 
=2, 
 
 
=1, 
 
 
=1, 
 
 
=2    va   
  
  
                     Endi 
 
   
ni aniqlaymiz. 
 
 
 
 
 
2 
2 
1 
1 
2 
 
 
 
1 
2 
5 
7 
2 
31 
 
Bundan     
     ,   
   
=12    va   
        
 
·12
 28(mod  31) 12·(-3)  (mod  31) 
            
Demak, 
berilgan 
taqqoslamaning 
yechimlari 
                        ya‘ni                                               
   
Tekshirish: 
 
 
     bo‘lsa,                                    ;   
 
     
bo‘lsa,  
                                         ; 
 
 
      bo‘lsa,                                           .    Bulardan 
ko‘rinadiki, uchala yechim ham to‘g‘ri topilgan. 
f). 
                  taqqoslamada                                  bo‘lgani 
uchun 
               ,  lekin  41  soni  13ga  bo‘linmaydi.  Shuning  uchun  ham 
berilgan taqqoslama yechimga  ega emas. 
 
 
 
 
1 
1 
1 
1 
2 
3 
1 
1 
3 
 
 
 
 
 
 
1
 
2 
3 
5 
13 
44 
57 
101 
360 

---

 
 
152 
 
g).    Bu  yerda
 


1
1
1
mod
n
n
x
b P
m


 
(1)  formuladan  foydalanamiz.  Avvalo 
 
   
  ni 
aniqlab  olamiz.  Buning  uchun 
43
20
m
a

 
kasrni  uzluksiz  kasrga  yoyamiz  va  munosib 
kasrlarini  topamiz,  u  holda   
                                                       
                   Demak,   
 
      
 
      
 
      
 
    
43
(2,  6,  1, 2).
20
m
a


 
Еndi 
munosib kasrlarning suratlarini hisoblab  
 
   
ni topamiz. 
 
q
i 
 
 
 
    
 
 
    
 
 
    
 
 
    
P
i 
 
 
    
 
 
    
 
 
     
 
 
     
 
 
     
 
Demak, 
        
 
      Topilgan    qiymatlarni    (1)  ga  olib  borib  qo‘ysak     
    
 
                                                       
          hosil bo‘ladi. Javob                        
261.  a). 
                 taqqoslamada              va  9  soni  3  ga  karrali 
bo‘lgani  uchun  u  3  ta  yechimga  ega.  Berilgan  taqqoslamaning  ikkala  tomoni  va 
modulini  3ga  qisqartirsak 
              taqqoslama hosil bo‘ladi. Bunda        
  bo‘lgan  uchun  u  yagona  yechimga  ega.  Uning  yechimini  aniqlaymiz.      
               yoki                  Keyingi  taqqoslamaning  ikkala  tomonini  4 
ga bo‘lsak, 
             hosil bo‘ladi. Demak, berilgan taqqoslamaning yechimlari  
                       ya‘ni 
                                                 
b). 
               taqqoslamada             ,  lekin  9  soni  6  ga  bo‘linmaydi. 
Shuning uchun berilgan taqqoslama yechimga ega emas. 
c). 
                  taqqoslamada               va      soni     gabo‘linadi. 
Demak, taqqoslama  5 ta yechimga ega berilgan taqqoslamaning ikkala tomonini va 
modulini  5ga  bo‘lib, 
               taqqoslamani  hosil  qilamiz.  Bundan     
                                             . 
Demak, 
taqqoslamaning 
yechimlari 
                               ya‘ni                                 
                                          lardan iborat bo‘ladi. 
d). 
                  taqqoslamada                 va      soni     ga  bo‘linadi. 
Shuning uchun ham berilgan taqqoslama 5 ta yechimga ega. Berilgan taqqoslamaning 
ikkala  tomoni  va  modulini  5  ga  qisqartib    yagona  yechimga  ega  bo‘lgan 
    
          taqqoslamaga  ega  bo‘lamiz.  Bundan                            
                         .  Demak,  berilgan  taqqoslamaning  yechimlari 
                               ya‘ni                                             
                             dan iborat. 

---

 
 
153 
 
e). 
                  va               hamda  84  soni  3ga  bo‘linadi.  Shuning 
uchun  ham  berilgan  taqqoslama  3  ta  yechimga  ega.  Berilgan  taqqoslamani  3  ga 
bo‘lib,  yagona  yechimga  ega  bo‘lgan 
                  taqqoslamaga  ega 
bo‘lamiz. 
Bundan 
                                                 
                                                          . 
Demak, 
topilgan yechimlar 
                        ya‘ni 
                                                  . 
f). 
                       dan                     bo‘lgani  uchun 
(90,138)=6  va  -18  soni  6  ga  bo‘linadi.  Demak,  berilgan  taqqoslama  6  ta  yechimga 
ega.  Berilgan  taqqoslamani    6ga  bo‘lib  yagona  yechimga  ega  bo‘lgan 
     
            taqqoslamaga  kelamiz.  Bundan                            
                   Bu  yerda             va              bo‘lgani  uchun      
                                                ni  hosil  qilamiz.  Demak, 
berilgan taqqoslamaning yechimlari 
                                     ya‘ni                             
                                                                    
dan 
iborat. 
 g). Bu yerda 
             va  55 soni 5 ga bo‘linadi.  Demak, berilgan taqqoslama 
5ta  yechimga  ega.  Berilgan  taqqoslamaning  ikkala  tomoni  va  modulini  5  ga 
qisqartirib,   
              ni hosil qilamiz. Buni taqqoslamalarning xossalaridan 
foydalanib,  koeffitsiеntlarini  almashtirish  usuli  bilan  yеchamiz.  U  holda 
3
7 11(mod 11),
6(mod 11).
x
x
 

 
Bundan 
 
berilgan 
taqqoslamaning yechimlari 
                              ekanligi kelib chiqadi. 
 
262.  a).  Ma‘lumki, 
              taqqoslama                       ga  teng 
kuchli.  Bundan 
                        tenglamani  hosil  qilamiz.  Shunday  qilib 
                        tenglama              taqqoslamaga teng kuchli ekan. 
Shunga  asosan 
                                                       
        ,  ya‘ni            ,  bu  holda               bo‘lgani  uchun         
                                    ,  bundan                      berilgan 
tenglama yechimi.