Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

 
III.2-§. 
 
195. 
         moduli bo‘yicha barcha sinflarni                   ,         
   ko‘rinishda yozish mumkin.  Bu tenglamani taqqoslama ko`rinishida yozsak 
              bunda                 . Buni                        ko`rinishida 
yozsak  bo`ladi. 
196. 
1). 
        bo`lsa,  moduli bo`yicha chegirmalarning to`la sistemalari:  
                           9  moduli  bo`yicha  eng  kichik  musbat  chegirmalarining  to`la 
sistemasi. 
                                  9    moduli  bo`yicha  eng  katta  manfiy 
chegirmalarining  to`la  sistemasi; 
                           9  moduli  bo`yicha 
absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarining to`la sistemasi.  
Endi 
       modul  bo`yicha  chegirmalarning  keltirilgan  sistemalarini  yozamiz. 
Ular  mos  ravishda  quydagicha  bo`ladi  (buning  uchun  yuqorida  yozilgan  to`la 
sistemadagi chegirmalardan 9 bilan o`zaro tublarini ajratib olish kifoya):  
                                                                          
2). 
      – moduli bo`yicha chegirmalarning izlanayotgan to`lasi sistemalari:  
                                                                                     
      – moduli bo`yicha chegirmalarning izlanayotgan keltirilgan sistemalari:  
                                       
3). 
       – moduli bo`yicha chegirmalarning izlanayotgan to`la sistemalari:       
                                                                            
        - moduli bo`yicha chegirmalarning izlanayotgan keltirilgan sistemalari:  
                                          
                               4). 
       – moduli bo`yicha chegirmalarning izlanayotgan to`la sistemalari:      
                                                                                
       – moduli bo`yicha chegirmalarning izlanayotgan keltirilgan sistemalar 
                                         
5). 
     -moduli  bo`yicha  chegirmalarning  izlanayotgan  to`la  sistemalari:   
 
                                                                  
      – moduli bo`yicha  chegirmalarning izlanayotgan keltirilgan sistemalari:  
 
 
                  
                                          
  6). 
       – moduli bo`yicha chegirmalarning izlanayotgan to`la sistemalari: 
                                                                  

---

 
 
132 
 
       – moduli do`yicha chegirmalarning izlanayotgan keltirilgan sistemalari:   
 
           
                         
197. 
                        dan                                     
              
                                                            
                      
198. 
a) 
            va         bo`lishi kerak. Ularning  soni           
ta va ular 
                                       
               bularni 
taqqoslama ko`rinishida yozsak.      
                               
                          yoki qisqacha yozsak                         
b) 
              va        bo`lishi kerak, 3 – misoldan                       
                               yoki bulardan                        
c)  
             va        bo`lishi kerak, ya`na 3-misoldan                ya`ni 
            . 
d)  
             va         bo`lishi kerak, 3-misoldan           ya`ni     
        . 
199. 
 Buni  isbotlash  uchun  quyidagi  2  ta  holatni  e‘tiborga  olish  kifoya. 
Birinchidan    md  modul  bo‘yicha  sinflar  soni,  m  modul  bo‘yicha  sinflar  sonidan  d 
marta  ko‘p.  Ikkinchidan  m  modul  bo‘yicha  taqqoslanmaydigan    sonlar  md    modul 
bo‘yicha ham taqqoslanmaydi. 
200. 
Masalan:
                                                                        
                     umumiy holda                         va        
201. 
 
   
  { 
 
   
  
 
 
       
 
}  to`plamlarni qarasak va bu to`plamda qo`shish 
hamda ko`paytirish amallarini (2) va (3) tengliklar yordamida aniqlash bu to`plam 
shu amallarga nisbatan yopiq ekanligini jadvallardan ko`rish qiyin emas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

 
 
133 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
〈
 
    
      〉  ning halqa bo`lishi uchun additiv Abel gruppasi, multipikativ yarim 
gruppa va distributuvlik sharti  
 
 
   
 
  
 
   
 
 
 
   
 
 
 
  bajarilishi kerak. 
Endi shu shartlarning bajarilishini tekshiramiz. 
 I. Additiv Abel gruppasi: a)   
  
 
   
  
 
 
 
 
   
   elementlar uchun  
 
 
   
 
     
 
 
 
 
    
 
   
 
         -  assotsiativlik  sharti  bajarilishi  kerak.  Bu  yerda   
 
        
  ,  
 
           ,   
 
             bo`lgani uchun    
 
   
 
     
 
   
   
   
 
 
 
     
    (yoki 
 
         
   
       
).      Shuningdek, 
 
 
    
 
   
 
     
 
 
 
   
   
     
  (yoki 
 
        
    ).  Bu  tengliklarning  o`ng  tomonlari  teng,  demak 
chap  tamonlari  ham  teng  bo`lishi  kerak.  Bundan  assotsiativlik  shartining  bajarilishi 
kelib chiqadi.  
b)  
  
 
 
 
   
 uchun 
   
 
   
 
   
 bo`lib, 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
  bajariladi, ya`ni 
qaralayotgan to`plamda nol element mavjud. 
c)   
  
 
 
 
   
 uchun  
   
    
   
 
   
  bo`lib, 
 
 
   
    
   
    
   
  
   
 
  
bajariladi, ya`ni qaralayotgan to`plamda 
   
 
 ga qarama-qarshi element 
 
    
  
mavjud. 
d)  
  
 
 
 
   
 uchun 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
   
  (yoki 
 
     
) bajariladi.  
Shunday qilib qaralayotgan to`plam qo`shishga nisbatan additiv Abel gruppasi 
bo`lar ekan.  
II.  
 
 
   
     ning multiplikativ yarim gruppa bo`lishini tekshiramiz:  
   
 
   
 
   
 
   
 
   
  uchun   
 
 
( 
 
   
 
)   ( 
 
   
 
) 
 
  ning  bajarilishini  ko`rsatish 
yetarli  tenglikning  chap  tomoni 
 
 
( 
 
   
 
)    
 
   
  
   
   
   
 
,  bunda 
     
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

 
 
134 
 
       . O‘ng tomoni ( 
 
   
 
) 
 
   
  
   
 
   
   
   
 
. 
Bulardan  isbotlanishi 
kerak bo`lgan tenglik kelib chiqadi. 
III.  Distributivlik  sharti 
  
 
   
 
   
 
   
 
  
  lar  uchun 
( 
 
   
 
) 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
  
tenglikning  bajarilishini  tekshiramiz.  Bu  tenglik  chap  tomoni  (soddalik  uchun 
               deb  qaraymiz;                holi  ham  shunga    o`xshash  qaraladi). 
( 
 
   
 
) 
 
   
   
   
 
   
      
    O`ng  tomoni   
 
   
 
   
 
 
 
   
  
   
  
 
 
     
   
      
 demak, bu tenglikning chap tomonlari teng, o`ng tamonlari ham teng 
bo`lishi  kerak.  Bundan  ega  isbotlanish  talab  etilgan  tenglik  kelib  chiqadi.  Shunday 
qilib 〈
 
   
      〉   sistema halqa bo`lar ekan. 
202. 
    moduli  bo`yicha  chegirmalarning  to`la  sistemasida    ta  chegirma 
bo`lib, ular shu modul bo`yicha o`zaro taqqoslanmaydigan bo`lishi kerak. Bizga 5 ta 
son 
                     berilgan.  Demak,    5  deb  olib,  berilgan  sonlarning  5 
moduli  bo`yicha  o`zaro  taqqoslanuvchi  emas  ekanligini  ko`rsatamiz.  Buning  uchun 
berilgan  sonlarni  manfiy  bo`lmagan  eng  kichik  chermalar  ko`rinishiga  keltirib 
olamiz. U holda 
              larga ega bo`lamiz. Bular       moduli bo`yicha o`zaro 
taqqoslanmaydi.  
          
203. 
Berilgan 
                                   va  6  sonlarning  soni  10 
bo`lib, 
ularni 
eng 
kichik 
musbat 
chegirmalar 
ko`rinishida 
yozsak: 
                              hosil  bo‘ladi.  Bunda     va      lar          moduli    boyicha 
o`zaro  taqqoslanuvchi,  ya`ni  ular  bitta  sinifga  tegishli.  Shuning  uchun  ham  berilgan 
sonlar 
       moduli bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasini tashkil etmaydi. 
204. 
Istalgan 
   ta  ketma-ket  kelgan       ,                            sonlarni 
qaraymiz.  Bu  yerda 
            va  1-teoremani  (       deb)  qo`llasak            
                    sonlarni   moduli bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasini hosil 
qiladi degan xulosaga kelamiz. 
205. 
Berilgan  sonlarning  soni 
   ta  bo`lib,  ular     moduli  bo`yicha  o`zaro 
taqqoslanmaydi. Agar 
  
   
 
 
   
 
       desak                 
  
   
 
 
   
 
           
       
 
           yoki  
   
 
               
                          U holda 
    
 
 
      
 
       
 
 
 
 
 
        ya`ni  
  
   
 
  va  
   
 
  chegirmalar bitta sinfdan olingan. Demak, 
  
   
 
 
   
 
       va 
berilgan sonlar 
  moduli bo`yicha chegirmalarining to`la sistemasini tashkil etadi. 
206. 
             bo`lgani  uchun  1-  teoremaga  ko`ra  agar     o`zgaruvchi 
       moduli bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasini qabul qilsa,        ham 
shu sistemani qabul qiladi, ya`ni 
 

---

 
 
135 
 
  
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
       
9 
2 
5 
8 
1 
4 
7 
0 
3 
6 
 
Bu yerda 
      ning qiymatlarini 10 moduli bo`yicha manfiy bo`lmagan eng 
kichik chegirma ko`rinishida yozdik.  
207. 
4 modul chеgirmalarning to‘la sistеmasida 4 ta 4 moduli bo‘yicha o‘zaro 
taqqoslanmaydigan chegirma bo‘lishi kerak. Bizga ma‘lumki, agar (a,m)=1 bo‘lib  x 
o‘zgaruvchi  m  moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  keltirilgan  sistemasini  qabul  qilsa,