Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

II.4-§. 
 
131. 
Eyler funksiyasi
         ning qiymatlari jadvalini tuzamiz. 
 
x 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
      1 
1 
2 
2 
4 
2 
6 
4 
6 
4 
10 
 
Bu  qiymatlarni  (nuqtalarni)  Dekart  koordinatalar  sistemasida  belgilab  chiqib  
uzlukli  chiziq  bilan  belgilab  chiqsak, 
          funksiya`ning  o‘zgarishini 
xarakterlovchi chiziqqa ega bo‘lamiz. 
132. 1).
             
 
     
 
   
 
       
2).
      ni  tub ko‘paytuvchilarga ajratib      ning multiplikativligidan 
foydalanamiz.
             
 
   
 
       
 
       
 
      
 
   
 
   
 
   
 
       
           

---

 
 
117 
 
 
8-shakl 
 
3).
                           
 
   
 
          
 
       
 
             
 
 
 )∙( 
 
                              
4).
              
 
   
 
         
 
   
 
   
 
                              
5).
                
 
           
 
   
 
   )=( 
 
   
 
   
 
                      
       ; 
6).
                   
 
                     
 
   
 
                     
     
7). 
     
 
      
 
    
 
                   
8).  
    
 
      
 
            
9).
                                  
 
                   
 
                   
    
10).
                      
 
       
 
       
 
          
 
   
 
        =  
 
 
 
 
   
 
   
 
                                 
       
 
 
                         tarifiga ko‘ra bunday kasrlar soni          
134.  Berilgan  oraliqda  jami  120  ta    natural  son  bor.  Shulardan 
     bilan  o‘zaro 
tublari 
              
 
             
 
   
 
                    Shuning  uchun  ham 
izlanayotgan natural sonlarning soni 
    –          ta. 
135.a)
     
 
     
 
   
   
   
   
           
   
  
 
b)
     
 
     
 
   
   
   
   
           
   
      
 
 
c)
      
 
     
   
    ni isbotlash uchun   ning kanonik yoyilmasi 
     
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 ni qaraymiz. Bundan  
 
 
   
 
   
 
 
 
   
 
   
 
   
 
 va  
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
(
)
1
1
1
1
1
1
k
k
m
m
m
m
p
p
p
p
p
p




















  























 
  

---

 
 
118 
 
1
(
).
m
m





 
136. Agar 
           bo‘lsa, Eyler funksiyasi multiplikativ bo‘lgani uchun 
                         
Agar  
          bo‘lsa,           bo‘ladi.  Bu holda      
 
   
 
    
 
      
 deb yozib olamiz va            
   
   
 
       
   
    
 
     
 
   
 
   
    
 
       
 
        
 
   
 
           
137.a).
               (         )                              
b). Agar 
           bo‘lsa, u holda            bo‘ladi. Shuning uchun ham  
                          
Agarda 
     
 
                bo‘lsa, u holda            
   
          
   
   
        
   
             
   
               
   
               
138. a).
   
 
           
 
   
   
         
   
             
   
   
 
 
       
b).
   
 
           
   
             
   
       
   
   
 
             
       
c).
    
 
     
   
   
   
           
   
  Bu tenglama       bo‘lsa yechimga 
ega emas. 
       da ixtiyoriy natural son   tenglamaning yechimi bo‘ladi. 
d). 
   
 
   
 
     00     
 
       
 
            
   
       
   
            
 
   
   
   
         
   
   
   
       
 
                                     
   
139. 
     
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
  bo‘lsin u holda 
        
 
 
  
  
  
 
     
 
 
 
  
  
 
        
 
 
 
  
  
 
     
bo‘ladi.  Bu  yerda  har  bir  toq   
 
 
 ko‘paytuvchiga  juft   
 
     ko‘paytuvchi  mos 
keladi  va 
     juft son  bo‘ladi. Agarda      
 
    ko‘rinishida bo‘lsa,       
   
 
     
   
juft son bo‘ladi. 
140. 
       soni            ning  ildizi  bo‘lsa,  u  holda            bajariladi.  Bu 
holda 
                   chunki  shartga  ko‘ra            .  Bu  yerdan         
soni ham berilgan tenglamaning ildizi ekanligi kelib chiqadi. 
141. 
   ning  ham     ning  ham  bo‘luvchisi  bo‘lgan     tub  soniga         da  bitta 
    
 
 
       ko‘paytuvchi  mos  keladi.             da  esa  ikkita  shunday 
ko‘paytuvchi 
(   
 
 
)
 
  mos  keladi. 
(   
 
 
)
 
     
 
 
  bo‘lgani  uchun 
           
bo‘lsa, 
                  bo‘ladi.  Xususiy  holda     
 
         
 
    bu  yerda 
tenglik faqat 
      da bajariladi. 
142. 
 
 
   
 
           
 
   lar  faqat     ning    kanonik  yoyilmasiga  kiruvchi  tub 
sonlar,
  
 
   
 
       
 
       va     larning  ikkalasining  ham  kanonik  yoyilmasiga 

---

 
 
119 
 
kiruvchi  tub  sonlar,
 
 
   
 
       
 
  lar  faqat  n  ning  kanonik  yoyilmasiga    kiruvchi  tub 
sonlar bo‘lsinlar. U holda 
              ∏ (   
 
 
 
) ∏ (   
 
 
 
)
 
   
 
   
∏ (   
 
 
 
)
 
   
  
{  ∏ (   
 
 
 
) ∏ (   
 
 
 
)
 
   
 
   
}   {  ∏ (   
 
 
 
)
 
   
∏ (   
 
 
 
)
 
   
}
 
  ∏
(   
 
 
 
)
 
   
            
 
    
  
      Agar 
 
    
    ekanligini inobatga olsak, isbotlangan tenglikdan 11-
misoldagi munosabat to‘gridan to‘g‘ri kelib chiqadi. 
              
  
     
             bo‘lgani uchun                
          
 
    
             .                (
  
     
     )     
144. Yig‘indini bevosita 
   
 
     
 
   
   
 formuladan foydalanib 
hisoblaymiz:
                  
 
              
 
    
               
 
           
 
   
   
   
 
  
     Agar a natural sonning kanonik yoyilmasi      
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 va θ 
multiplikativ funksiya bo‘lsa, u holda  
∑     
   
      (       
 
       
 
 
         ( 
 
 
 
))  
  (       
 
       
 
 
         ( 
 
 
 
))     
     (       
 
       
 
 
         ( 
 
 
 
))                                                  (1) 
ayniyat o'rinli. Haqiqatan ham (1) ning o‘ng tomonidagi qavs ichidagi ifodalarni 
ko‘paytirib, qavslarni ochsak va 
     ning multiplikativligidan foydalanib 
quyidagiga ega bo‘lamiz: 
∏ (       
 
     ( 
 
 
)        ( 
 
 
 
))
 
   
         
 
        
 
           
 
         ( 
 
 
 
) ( 
 
 
 
)    ( 
 
 
 
)
  ∑ ∑   ∑    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
    ∑      
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

 
 
120 
 
Bu  yerda  biz 
     
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
  sonining  ixtiyoriy  bo‘luvchisi 
   ni     
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
         
 
  
  
                    ko‘rinishidagi ifodalash mumkinligidan 
foydalandik. Endi (1) da 
            deb olamiz. U holda (1) dan 
∑        ∏ (       
 
     ( 
 
 
)        ( 
 
 
 
))
 
   
   
  ∏(     
 
       
 
 
   
 
       
 
 
 
   
 
 
 
  
)   ∏  
 
  
 
   
   
 
   
  
146.  Avvalo,  agar 
            bo‘lsa,  u  holda                  ekanligini 
ko‘rsatamiz
                       bo‘lsin  deb  faraz  etaylik.  U  holda          
 
     
          deb yoza olamiz. Bu yerdan                 
 
     ga,  ya`ni         
     ga ega bo‘lamiz. Bu esa  (          ga qarama-qarshidir. 
Endi 
   dan  kichik  va     bilan  o‘zaro  tub  sonlarni  o‘sib  borish  tartibida  yozib 
chiqamiz:  
      
 
 
 
 
 
 
         
 
 
     
 
 
                           
Bularning  soni 
      ta.  Bu  yerda  har  bir   
 
  ga  birta 
     
 
  soni  mos  keladi. 
Ularning  yig‘indisi 
 
 
        
 
       ga  teng.  Bunday  juftliklar  soni 
 
 
      ta.  
Shunday  qilib  (2)  dagi  sonlar  yig‘indisini 
   deb  belgilasak,     
 
 
       ga  ega 
bo‘lamiz. 
147. 16 – masalada isbotlangan formuladan foydalanib, 
 
 
 
 
 
       
 
 
             
 
     
 
     
 
               
 
 
 
 
 
        
 
 
        
    
topamiz. 
148. 1).
                          
 
                 deb olamiz.         
   
 
        
   
                            
   
           hosil bo‘ladi. 
Bundan 
                                                                            
  tenglama bitta yechimi,       bo‘lsa, tenglama   ta   va    yechimga ega bo‘ladi. 
2). 
                            dan     ⋮   ya`ni   ning yoyilmasida 7 
qatnashishi kerak, u holda 
     ⋮      lekin      ifoda 6 bo‘linmaydi. Demak 
tenglama yechimga ega emas. 
3).
               
  
          ⋮           ⋮         ⋮  . 
a) 
     
 
   
 
   
 
 bo'lsin u holda
             
 
   
   
 ( 
 
   
   
)  
 
 
 
   
         
   
   
   
   
   
               
   
   
   
   
   
         
                    va                               

---

 
 
121 
 
 
         
 
   
 
                    
   
   
   
             
   
   
   
         
                                
c). 
     
 
   
 
          
   
   
   
           
   
   
   
                 
                    
          
 
   
 
            
   
   
   
           
   
   
   
              
                
          
 
             
   
       
 
                     
Demak, javob 
                        
4). 
              
 
     Mumkin bo‘lgan hollarni qarab chiqamiz. 
a)
       
 
   
 
   
 
          
   
       
   
       
   
           
   
   
   
 
 
   
                                    
b) 
       
 
   
 
          
   
       
   
           
 
   
   
   
 
        
                        
c)
     
 
   
 
             
   
       
   
        
   
   
   
                 
            
d) 
     
 
   
    
          
   
           
   
        
   
   
   
             
                    
e)  
     
 
    
 
          
   
    
   
             
   
    
   
            
                
g)